разложите многочлен на множители. один из корней содержит комплексное число (см. внутри)

Question

разложите многочлен на множители. один из корней содержит комплексное число (см. внутри)

акира ******* Мастер (1885), закрыт 10 лет назад

полный текст задания: многочлен x^4+4x^3+8x^2+8x-12 разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами (квадратичные множители - с отрицательным дискриминантом) . Один из его коэффициентов равен -1 - i sqr5

комментарий неудачника, который не знает как решить: я так понимаю, если один из корней это комплексное число, то еще один корень - это сопряженное к комплексному число. а вот как найти квадратичный множитель / тили? пробовала делить уголком, но там меня упорно преследует птица Обломинго. может, я что-то делаю неправильно? помогите, пожалуйста, и распишите решение пожалуйста. заранее спасибо

Answer 1

Акира, зная, что второй корень - сопряженное число к первому, т. е. -1+i*sqrt(5), вы без труда найдете первый квадратичный множитель: (х-(-1-i*sqrt(5)))(x-(-1+i*sqrt(5)))=x^2+2x+6, поделив многочлен на него "уголком", найдете и второй. Есть еще теорема (не помню названия) , что один из делителей многочлена есть многочлен более низкой степени, коэффициентами которого являются делители свободного члена, в нашем случае это -12. делители могут быть как со знаком +, так и -. В итоге получим: x^4+4x^3+8x^2+8x-12=(x^2+2x+6)(x^2+2x-2). Второй множитель разложите сами, там D>0.

Answer 2

Это теорема Виета, в ней идет речь только о простых множителях вида (х-а) где а есть целый делитель свободного члена. в нашем случае корни трехчлена (x^2+2x-2)=0 будут -1+-sqrt(3), так что по Виету их не подобрать