Как правильно говорить, если пришли - "чем обязан" или "чему обязан"?

Можно и так, и эдак. Но только с вопросительным знаком. Смысл существенно разный, поскольку опускаются разные слова.
"Чем обязан?" - сокращенное "Чем я Вам обязан?" Интеллигентная форма вопроса "Сколько с меня?"
"Чему обязан?" - сокращенное "Чему я обязан Вашим ["или вашим"] посещением?" Фактически это свидетельство явного неудовольствия от нежданного визита и вежливое предложение визитерам канать поскорее из Вашего дома.