Можно попросить у работодателя экземпляр трудового договора в электронном виде? И обязан ли он его предоставить?

Попросить можно. В соответствии с трудовым кодексом работодатель обязан предоставить Вам копию трудового договора. Однако в законе не сказано, в каком виде он обязан это сделать. При таких обстоятельствах работодатель может предоставить Вам копию трудового договора в бумажном виде, и будет прав. Кроме того, подпись на трудовом договоре Вы ставили на бумажном варианте, а работодатель должен предоставить Вам копию с Вашей подписью. Если Вам необходим вариант в электронном виде, то лучше отсканировать бумажный вариант.

Работодатель не обязан предоставлять трудовой договор в электронном виде. Если он Вам необходим, отсканируйте свой экземпляр, будет у Вас в электронном виде.
"Трудовой кодекс Российской Федерации" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 03.07.2016) (с изм. и доп., вступ. в силу с 01.01.2017)
Статья 67. Форма трудового договора
Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

конечно, для согласования!