Что называется расстоянием от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

opredelenie rasstoyaniya ot tochki do pryamoy
рисунок 1

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.

Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.

Задачи.

№ 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.

rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

\[AB \bot a,\]

AC и AD — наклонные, AC:AD=2:3,

BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см

Найти: AB.

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

\[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2},\]

откуда

\[A{B^2} = A{C^2} - B{C^2}\]

\[A{B^2} = {(2k)^2} - {2^2}\]

\[\underline {A{B^2} = 4{k^2} - 4} \]

3) Аналогично, из треугольника ABD

\[A{B^2} = A{D^2} - B{D^2}\]

\[A{B^2} = {(3k)^2} - {7^2}\]

\[\underline {A{B^2} = 9{k^2} - 49} \]

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:

\[4{k^2} - 4 = 9{k^2} - 49\]

\[5{k^2} = 45\]

\[{k^2} = 9\]

\[\underline {k = 3} \]

5) Зная k, найдем AB:

\[A{B^2} = 4 \cdot {3^2} - 4 = 32\]

\[AB = \sqrt {32} = \sqrt {16 \cdot 2} = 4\sqrt 2 (cm).\]

Ответ: 4√2 см.

№ 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.

nayti rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

\[AB \bot a,\]

AC и AD — наклонные, AC=13 см, AD=15 см,

BC и BD — их проекции, BD-BC=4 см

Найти: AB.

Решение:

1) Пусть BC=x см, тогда BD=x+4 см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

\[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2},\]

откуда

\[A{B^2} = A{C^2} - B{C^2}\]

\[\underline {A{B^2} = {{13}^2} - {x^2}} \]

3) Аналогично, из треугольника ABD

\[A{B^2} = A{D^2} - B{D^2}\]

\[\underline {A{B^2} = {{15}^2} - {{(x + 4)}^2}} \]

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим x:

\[{13^2} - {x^2} = {15^2} - {(x + 4)^2}\]

\[169 - {x^2} = 225 - {x^2} - 8x - 16\]

\[8x = 40\]

\[\underline {x = 5} \]

5) Зная x, найдем AB:

\[A{B^2} = {13^2} - {5^2} = 169 - 25 = 144\]

\[AB = 12(cm).\]

Ответ: 12 см.

№ 3. Найти расстояние от точки A до прямой a, если известно, что наклонная AF, длина которой равна c, образует с прямой a угол α.

kak nayti rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

\[AB \bot a,\]

AF — наклонная,

AF=c, ∠AFB=α.

Найти: AB.

Решение:

Треугольник ABF — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). AB — катет, противолежащий углу ACB, AF — гипотенуза.

По определению синуса

\[\sin \angle AFB = \frac{{AB}}{{AF}}\]

\[AB = AF \cdot \sin \angle AFB = c\sin \alpha .\]