Математика. Задача с параметром.
При каких значениях "a" уравнение:
√(4x^4 - 9x^2 + a^2)=2x^2-3x+a
Имеет ровно три различных корня? Найдите все возможные значения "a".
В ответе указаны промежутки:
0<a<4.5; 4.5<a<+∞
Собственно вопрос, где я не прав?
"а" не может принимать отрицательные значения, т. к. при возведении в квадрат и извлечении корня его знак поменяется на положительный. "а" также не может равняться нулю, т. к. в таком случае корнями этого уравнения будут x=0; x=3/2; x=0, а по условию задачи корни должны быть различными. Три корня данного уравнения - это ноль и два "икса", получаемых при решении квадратного уравнения (2x^2-3x+a). Следовательно нужно исключить случаи, при которых данное квадратное уравнение имеет меньше решений, чем 2. То бишь, когда дискриминант равен нулю или меньше нуля, верно?
D=b^2 - 4*a*c
D=9 - 8*a; Тогда при a=1.125 Дискриминант равен нулю, или же я не верно вывел конечное уравнение? Чтобы в ответе в промежутки не входило число 4.5 уравнение должно иметь такой вид:
1/2*x^2-3x+a=0; и тогда:
D=9 - 2*a; Следовательно при a=4.5 Дискриминант будет равен нулю.
"при решении квадратного уравнения (2x^2-3x+a)... когда дискриминант равен нулю или меньше нуля, верно?"
Неверно. Решать надо ДАННОЕ уравнение: возвести обе части в квадрат, перенести все в левую часть, привести подобные слагаемые, получим:
6x^3-(2a+9)x^2+3ax=0,
откуда х1=0, х2=3/2, х3=а/3.
Затем для каждого найденного корня выполняется проверка ОДЗ:
{ 4x^4 - 9x^2 + a^2>=0,
{ 2x^2-3x+a>=0.
При х=0 (подставляйте) получаем { a^2>=0, a>=0} <=> a>=0;
при х=3/2 получаем { a^2>=0; a>=0} <=> a>=0;
при х=а/3 получаем { 4a^4/81>=0; 2a^2/9>=0} - а -любое,
Итак, все три корня удовлетворяют обоим неравенствам ОДЗ при a>=0.
И последнее: несовпадение корней выполняется, если х1 не = х2 не = х3:
0 не = 3/2 не = а/3, откуда а не=0, а не =9/2.
Ответ у Вас есть.