Почему площадь вычисляется именно с помощью интеграла?
Рассмотрим обыкновенную задачу о нахождении площади криволинейной трапеции: y = f(x), x = a, x = b, y = 0, (a < b). Берем произвольное разбиение a = x0 < x1 < ...< x[n] = b. Для каждого интервала "delta"x[i] = x[i] - x[i-1] определим "ksi"[i] = max(x[i], x[i-1]) и "psi"[i] = min(x[i], x[i-1]). После, очевидно, что площадь искомой фигуры содержится между Ʃ(i = 1 .. n)"psi"[i] * "delta"x[i] <= S <= Ʃ(i = 1 .. n)"ksi"[i] * "delta"x[i]. После мы устремляем "delta"x[i] --> 0 и на свет по обе стороны от нашей площади S появляются два интеграла. Подскажите, почему мы заменяем знаки суммы именно знаком интеграла (очевидно, что не только из-за визуальной схожести)? Каким образом разность значений первообрзных ф-ии от краев отрезка дает нам площадь под графиком этой ф-ии?
Заранее благодарен.
Появляются не два интеграла, а две СУММЫ ДАРБУ - нижняя и верхняя. А вот между ними - интеграл...
Интеграл можно ввести двумя эквивалентными способами:
1) Как решение простейшего дифференциального уравнения y'(x)=f(x) (найти функцию по известной производной). В этом случае мы получаем первообразную (неопределенный интеграл), а определенный вводим как разность двух первообразных.
2) Как предел интегральных сумм. В этом случае получаем определенный интеграл. А чтобы ввести неопределенный, верхний предел ставим x и доказываем, что производная полученной функции равна подинтегральной функции.
При втором способе то, что определенный интеграл равен площади фигуры под графиком -- это по определению такой площади. При первом -- это нужно доказывать, как теорему.
Гуманитарий во мне просто с ума сходит от этого ...