Олимпиадное уравнение 9 кл.
2^m+7=n^2, решить в целых числах, на базе 9 кл., без логарифмирования ответа. Я понять не могу, но методом подбора легко найти его корни {1;3},{1;-3}, но как доказать что остальные не удовлетворяют? Дали мне подсказку через делимость и четность/нечетность сделать, но я не вник. Я пробовал обосновать ряд, который получается если взять степень больше 1, там получаются простые числа и их произведения на 3, но весь ряд мы не можешь перебрать поэтому как прийти к рациональному решению?
2^m + 7= n^2. m > 0. 2^m четное при любых m > 0, значит 2^m + 7 нечетное при любых m > 0. Значит, n - нечетное. Представим n = 2р + 1. Тогда 2^m + 7 = (2р + 1)^2 = 4р^2 + 4p + 1, и 2^m + 6 = 4р^2 + 4p. При m = 1 получаем решение p = 1, p = -2 (то есть m = 1, n = ± 3). При m > 1 решений нет, потому что при m > 1 2^m (нацело) делится на четыре и 4р^2 + 4p тоже делится на четыре, а 6 на четыре не делится. Отсюда ответ: m = 1, n = ± 3
1) Для поиска всех решений достаточно ограничиться натуральными n и m. (Убедитесь.)
2) Присмотритесь к n: легко сделать вывод о его чётности и остатке при делении на 4. (Запомните этот приём с остатком от деления квадратов на 4.)
вроде методом математической индукции можно доказать если не справедливо для n то и для n+1 тоже чтобы не перебирать весь ряд.