Может ли точка пересечения биссектрис треугольника быть серединой одной из этих биссектрис?

Нет.
Исходя из теоремы, которую я заскриншотил в Википедии (инцентр - точка пересечения биссектрис), инцентр делит биссектрису в отношении (b+c)/a, a,b,c - длины сторон треугольника.
Если инцентр делит биссектрису на 2 равные части, то получается, что b+c=a. А по основному неравенству треугольника сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей стороны, что означает, что b+c>a. Получаем противоречие: b+c=a и b+c>a. По методу от противного получается, что не существует треугольника, у которого инцентр делил бы биссектрису пополам.