Как найти длину линии, используя интегралы?
Для того, чтобы вычислить длину кривой, следует воспользоваться криволинейным интегралом первого рода. Он сводится к определенному интегралу по формулам, приведенным на картинке (строго говоря, перед корнем стоит множитель f(x,y), но для вычисления длин дуги принимается f(x,y)=1), в зависимости от описания кривой (декартовы координаты, полярные координаты или параметрическое задание).
Практические примеры советую посмотреть на mathprofi.ru
Проинтегрировать единицу по этой линии
Вычислить криволинейный интеграл 1 рода от начальной до конечной точки.
Используя формулу, пределы функции, соответствующую систему координат.
Более подробно на картинке.
P.S. Для нахождения длины дуги необходимо уметь вычислять производную функции, поэтому рекомендую также почитать
об этом.
Интегралы нужны, чтобы суммировать бесконечно малые единицы, а не чтобы вычислять длину линии. Длина отрезка вычисляется простецкой формулой.