Тейлор доказал, что если функция является аналитической, то её можно выразить рядом Тейлора. Но что такое аналитическая

Вы где-то нашли очень-очень плохое определение аналитической функции.

На самом деле определение аналитической функции такое:
Аналитическая функция, это функция, которую можно выразить сходящимся рядом.

В этом определении нигде не говорится о том, что этот ряд обязательно должен быть рядом Тейлора. Это может быть любой другой ряд, например, ряд Фурье.

А ряд Тейлора это очень специфический ряд, можно сказать универсальный ряд. Его универсальность в том, что для разложения функции в ряд Тейлора не требуется знать никакого подходящего ортонормированного базиса для того оператора, собственной функцией которого является данная функция.

Более по простому это так.
Пусть у вас есть функция и вы не знаете, как её лучше разложить в ряд, допустим, по тригонометрическим функциям или по полиномам Эрмита. То есть вы не знаете, это периодическая функция (собственная функция оператора трансляций) или это собственная функция гамильтониана квантовых осцилляций в квадратичном потенциале.
Ну и плевать! Если вы уверены, что функция аналитическая, то можете разложить её в ряд Тейлора. Вам гарантируется её сходимость.
Ну, конечно, это разложение идет уже не по ортонормированному базису, но для многих приложений это не важно.

А что касается ваших рассуждений в вопросе про бога, то уберите эти рассуждения из вопроса. Но портите хороший вопрос.