Найти предел последовательности

Эта функциональная последовательность сходится (как минимум, поточечно) к функции
f(a) = a^2 + a + 1/3
Усиление ограничений на вид сходимости в условии задачи не запрошено.

Если от функции g(x) = (a + x)^2 на отрезке [0, 1] взять интегральную сумму с шагом 1/n, используемую в методе левых или правых прямоугольников (это метод численного интегрирования), то полученная сумма от вашей будет отличаться всего лишь на одно слагаемое.
Какое именно слагаемое - зависит от того, левые или правые прямоугольники вы возьмете.
А проинтегрировать (a + x)^2*dx от 0 до 1 вы, авось, сумеете.