Вопросы по Методу Ньютона (касательных)
1. Какими свойствами должна обладать функция f(x) на отрезке [a,b], чтобы метод Ньютона позволил найти приближенное значение корня уравнения f(x)=0 с какой угодно погрешностью?
2. Как следует выбирать начальное приближение в методе Ньютона?
3. Какой порядок (скорость сходимости) имеет метод Ньютона?
4. Пусть в вашем варианте найдено приближенное значение корня, отличающееся от точного не более чем на 0,01. Сколько итераций по методу Ньютона потребуется для уточнения корня с погрешностью не хуже 10-4 ?
1. Функция f(x) должна быть непрерывной на отрезке [a,b] и иметь ненулевой производную. Эти условия необходимы, чтобы метод Ньютона сходился. Кроме того, функция f(x) должна быть обратима, т.е. есть обратная функция f^(-1)(x), чтобы метод Ньютона мог быть применен.
2. Начальное приближение должно быть достаточно близко к точному значению корня, чтобы сходимость метода Ньютона была быстрой. Обычно начальное приближение выбирается так, чтобы оно было находилось в той же области, что и корень уравнения.
3. Метод Ньютона имеет квадратичный порядок сходимости, что означает, что точность вычисления корня удваивается каждую итерацию.
4. Для уточнения корня с погрешностью не хуже 10-4 потребуется 4 итерации. Обратите внимание, что этот ответ является приближенным и зависит от многих факторов, в том числе от самой функции f(x), начального приближения и требуемой точности. Для точного расчета количества итераций, необходимо выполнить ряд расчетов и анализа.