Решить задачу с помощью метода касательных

Введем для удобства функцию:
f(x) = x³ - 0.2 x² + 0.5 x + 1.5.
Уравнение тогда примет вид:
f(x) = 0.
-
Отделим корешки.
Для такой функции f легко найти максимумы и минимумы. Найдем производную f:
f '(x) = 3 x² - 0.2 x + 0.5,
и видим, что она всегда больше нуля. Это значит, что функия f монотонно растет, а тогда исходное уравнение может иметь только один корень. Видим, что:
f(0) = 1.5 > 0,
f(-1) = -0.2 < 0.
Это значит, что для решения уравнения можем записать:
-1 < x < 0.
Поняли, что корень единственный, нашли небольшую область, в которой он находится.
-
Теперь берем уравнение:
f(x) = 0,
подставляем туда какое-то приближенное значение коня. Возьмем, например, точку в центре найденного промежутка:
x[0] = -0.5.
Это, конечно, не корень уравнение. Будем его уточнять. Следующее приближение для корня запишем так:
x[1] = x[0] + Δ[0],
подставим x[1] в уравнение:
f(x[0] + Δ[0]) = 0.
Теперь, считая Δ[0] маленькой добавкой, сохраним только члены, линейные по Δ[0]:
f(x[0]) + f '(x[0]) Δ[0] = 0,
Отсюда выражаем добавку:
Δ[0] = - f(x[0]) / f '(x[0]).
Это тоже не совсем корень. Повторяем проделанное столько раз, сколько понадобится для достижения нужной точности. Получается такой цикл:
-
1) Есть какое-то приближение для корня x[k].
2) Ищем уточняющую добавку:
Δ[k] = - f(x[k]) / f '(x[k]).
3) Уточняем корень:
x[k + 1] = x[k] + Δ[k].
4) Если:
|Δ[k]| > 0.001,
тогда требуемая точность не достигнута, возвращаемся к (1) для x[k+1],
если:
|Δ[k]| < 0.001,
тогда требуемая точность достигнута, идем к (5)
5) Называем x[k] корнем уравнения с требуемой точностью.
-
x[0] = -0.500000, Δ[0] = -0.741379;
x[1] = -1.241379, Δ[1] = 0.238786;
x[2] = -1.002593, Δ[2] = 0.053652;
x[3] = -0.948941, Δ[3] = 0.002535;
x[4] = -0.946406, Δ[4] = 0.000005;
Получаем: x ≈ -0.946.