Графический метод (окружность и парабола)
При каком значении параметра m система уравнений x^2+y^2=4
имеет одно решение? y-x^2=m
Ответ: при m=
Решения данной системы уравнений соответствуют точкам пересечения графиков двух функций, соответствующих уравнениям.
Общее уравнение окружности с центром в начале координат: x^2 + y^2 = R^2,
где R - радиус окружности.
В вашем случае x^2 + y^2 = 4, то есть R^2 = 4. Отсюда R = 2.
Вариант R = -2 не рассматриваем, так как радиус не бывает отрицательным.
Теперь смотрим сюда:
y - x^2 = m
y = x^2 + m
Это обычная парабола с ветвями вверх. Ее вершина находится в точке (0; m).
Если вершина параболы находится внутри окружности, то ее ветви пересекают окружность в двух точках:
Если разместить параболу ниже окружности, то ее ветви могут пересекать окружность в 0, 2 или 4 точках, но это всегда четное количество точек.
Еще один случай - когда вершина параболы находится в нижней точке окружности.
Тогда у нас три точки пересечения: в вершине параболы и на ее ветвях.
Если бы не ветви, точка пересечения была бы всего одна.
Мы можем это исправить, если поместим вершину параболы в верхней точке окружности:
Итак, окружность и парабола пересекаются в одной точке при m = 2.
Именно в этом случае система уравнений имеет единственное решение.
За графики спасибо сайту yotx.ru.
