Помогите пожалуйста с решением (математика)

y = (7/18)e^(-3x) + (11/18)e^(-x) + (1/18)e^(3x)

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться методом вариации постоянных. Представим общее решение дифференциального уравнения второго порядка в виде y(x) = C1y1(x) + C2y2(x), где C1 и C2 - постоянные, а y1(x) и y2(x) - линейно независимые решения однородного уравнения y''=4y'+3y.

Сначала найдем характеристическое уравнение однородного уравнения:
r^2 - 4r + 3 = 0
(r - 3)(r - 1) = 0
r1 = 3, r2 = 1

Таким образом, линейно независимыми решениями будут y1(x) = e^(3x) и y2(x) = e^x.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде y_p(x) = Ae^(3x). Подставляя это решение в уравнение, получим:
9A - 12A + 3A = 2
A = 1/3

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p(x) = (1/3)e^(3x).

Теперь можно найти постоянные C1 и C2, используя начальные условия:
y(0) = C1y1(0) + C2y2(0) + y_p(0) = C1 + C2 + (1/3) = 2
y'(0) = C1y1'(0) + C2y2'(0) + y_p'(0) = 3C1 + C2 + 3 = 5

Решая систему уравнений, получаем C1 = 2/3 и C2 = 4/3.

Таким образом, искомое частное решение дифференциального уравнения имеет вид:
y(x) = (2/3)e^(3x) + (4/3)e^x + (1/3)e^(3x) = (5/3)e^(3x) + (4/3)e^x.