Новогодняя гирлянда состоит из 10 последовательно соединённых электрических лампочки
Новогодняя гирлянда состоит из 10 последовательно соединённых электрических лампочек. Одна лампочка перегорела. Перегоревшая лампочка обнаруживается путём поочередной замены каждой лампы из гирлянды на заведомо хорошую. Найти вероятность того, что перегоревшая лампочка будет обнаружена не более, чем при трёх заменах.?
Для решения задачи воспользуемся методом последовательных испытаний. В каждом испытании мы заменяем одну лампочку на рабочую и проверяем гирлянду. Если гирлянда не зажигается, то мы знаем, что замененная лампочка была перегоревшей. Если же гирлянда зажигается, то мы знаем, что замененная лампочка была рабочей.
Таким образом, в первом испытании мы заменяем любую из 10 лампочек на рабочую. Вероятность того, что мы найдем перегоревшую лампочку в первом испытании, равна 1/10. Если перегоревшая лампочка не найдена, то вторым испытанием мы заменяем еще одну лампочку на рабочую. Вероятность того, что мы найдем перегоревшую лампочку во втором испытании, при условии, что она не была найдена в первом испытании, равна 1/9 (так как теперь в гирлянде осталось 9 лампочек, из которых одна перегоревшая). Если же перегоревшая лампочка не найдена и после второго испытания, то третьим испытанием мы заменяем еще одну лампочку на рабочую. Вероятность того, что мы найдем перегоревшую лампочку в третьем испытании, при условии, что она не была найдена в первых двух испытаниях, равна 1/8 (так как теперь в гирлянде осталось 8 лампочек, из которых одна перегоревшая).
Таким образом, вероятность того, что мы найдем перегоревшую лампочку не более, чем при трех заменах, равна сумме вероятностей того, что мы найдем ее при первой, второй или третьей замене:
P = 1/10 + (9/10) * 1/9 + (9/10) * (8/9) * 1/8 = 0.3
Итак, вероятность того, что перегоревшая лампочка будет обнаружена не более, чем при трех заменах, равна 0.3, то есть 30%.
