Почему ЧА–ЩА пиши с буквой А, ЧУ–ЩУ пиши с буквой У, а ЧО/Ё- ЩО/Ё хочешь пиши с О, хочешь с Ё?

Правило написание ЧА-ЩА, ЧУ-ЩУ не имеет исключений, и этому учат с 1-го класса.

А вот с О и Ё после шипящих в разных частях слов более сложно, т.к. написание гласной зависит от множества причин. И что хочешь, то и пиши, - не прокатит. Это также регламентировано определенными правилами.

1. В КОРНЕ СЛОВА под ударением нужно написать Ё в том случае, если в других формах этого слова или в однокоренных словах пишется буква Е: ШЁПОТ (ШЕПЧЕТ), ПЧЁЛЫ (ПЧЕЛА), ЧЁРНЫЙ (ЧЕРНЕТЬ) и т. д.
2. Если же проверочное слово подобрать не удается, то после шипящих в корне под ударением следует писать О: ШОВ, ШОРОХ, ШОРЫ, ИЗЖОГА, КРЫЖОВНИК, ОБЖОРА, ЧОКАТЬСЯ, ТРУЩОБА. Таких слов не очень много, и их обычно запоминают как исключения.
3. Если же это иноязычное слово, то необходимо писать О после шипящего согласного в корне под ударением. Например: КАПЮШОН, ШОК, ЖОНГЛИРОВАТЬ.

1. В СУФФИКСЕ существительного, прилагательного, наречия под ударением пишется буква О: СОБАЧ-ОНК-А, КАМЫШ-ОВ-ЫЙ, ГОРЯЧ-О.
2. В ОКОНЧАНИИ существительного и прилагательного под ударением пишется буква О: ВРАЧ-ОМ, БОЛЬШ-ОЙ.
3. В СУФФИКСАХ глаголов, причастий и всех слов, образованных от глаголов, под ударением пишется буква Ё: ПЕЧ-ЁТ,
ВЫ-КОРЧ-ЁВ-ЫВА-ТЬ, ВЫ-КОРЧ-ЁВ-КА, ПЕРЕ-СЕЧ-ЁНН-ЫЙ, НОЧ-ЁВ-КА, ЛИШ-ЁНН-ЫЙ.

Следует также обратить внимание, что существительные ТУШЁНКА, СГУЩЁНКА, НОЧЁВКА и некоторые другие пишутся через букву Ё. Буква Ё пишется в суффиксах этих слов, так как они соотносятся по смыслу с глаголами ТУШИТЬ, СГУЩАТЬ и НОЧЕВАТЬ.

А слова РЕЧОВКА, МЕЛОЧОВКА, ПЛАЩОВКА пишутся через О. Буква О пишется в суффиксах существительных по изложенному выше правилу.

Слово БЕЧЁВКА пишется с буквой Ё. Буква Ё пишется, поскольку эта гласная входит в состав корня и проверяется словом БЕЧЕВА.

Отдельно необходимо запомнить правило написания слов с корнем ЖОГ / ЖЕГ.
Если слово является существительным, то надо писать букву О. Например: сильный ОЖОГ, совершен ПОДЖОГ ДОМА. Но глагол пишется с буквой Ё. Например: ОБЖЁГ руку, кто-то ПОДЖЁГ дом.