Помогите с выводом момента инерции однородного сплошного цилиндра относительно поперечной оси.

забудем пока, что у нас есть сплошной цилиндр.
начнём сильно издалека.

1) рассмотрим кольцо массы m и радиуса R и найдем его момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости этого кольца.

ясно, что если всё кольцо имеет массу m, то его элемент длиной dl будет иметь массу, пропорциональную отношению его длины к длине всего кольца :
dm= m [ dl/(2пR) ]
переходя от длин к углам получим:
dm = m/(2п) da
тогда момент инерции кольца будет иметь вид:
Jк = ∫ dm r² =
= ∫ m/(2п) (R sina)² da от 0 до 2п =
= mR²/(2п) ∫ sin² a da =
= mR²/(2п) ∫ (1 - cos2a)/2 da =
= mR²/(4п) (∫ da - 1/2 ∫ cos2a d(2a)) =
= mR²/(4п) (a | от 0 до 2п - 1/2 sin2a | от 0 до 2п ) =
= mR² / 2

2) рассмотрим теперь диск массы m и радиуса R и найдем его момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости этого диска.

разобьем этот диск на тонкие кольца. каждое такое кольцо радиуса r и ширины dr будет иметь массу dm, пропорциональную отношению площади кольца к площади всего диска:
dm = m * [ (п(r+dr)² - пr²) / (пR²) ] = m (2r+dr)dr / R² ~ m 2r / R² dr
и момент инерции:
(m 2r / R²) * r² / 2 = m r³ / R² dr
момент инерции же всего диска будет суммой моментов инерции таких колец:
Jд = ∫ m r³ / R² dr от 0 до R = m/R² ∫ r³ dr = m/R² * 1/4 R⁴ = mR² / 4

3) рассмотрим теперь момент инерции однородного диска относительно оси, отстоящей от его плоскости на расстояние x. по теореме Г-Ш он равен:
Jд(x) = mR² / 4 + mx² = m (R² / 4 + x²)

4) ну, и, наконец, разрезаем наш однородный сплошной цилиндр длины l на тонкие диски. масса каждого такого диска будет пропорциональна отношению объема диска к объему всего цилиндра, то есть:
dm = m [ (пR² dx) / (пR² l) ] = m/l dx
и момент инерции всего цилиндра будет суммой моментов инерции дисков:
Jц = ∫ Jд(x) dm =
= ∫ (R² / 4 + x²) m/l dx от 0 до l =
= m/l ( R² x / 4 + x³/3) | от 0 до l =
= mR² / 4 + mR² / 3
(формула 36.13)