Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 1-ый курс.

Для начала, найдем минор элемента аi1, где i = 1:

|1 0 2|
|-6 9 3|
|5 -5 2|

Минор будет равен:

|1 0|
|5 -5|

Дальше найдем минор элемента а4j, где j = 3:

|6 4 -7|
|-3 1 2 |
|2 -6 3|

Минор будет равен:

|6 4|
|2 -6|

Далее, найдем алгебраическое дополнение элемента а13:

Алгебраическое дополнение элемента а13 будет равно -1^(1+3) * Минор элемента а13:

(-1)^(1+3) * (-6) = 6

Найдем алгебраическое дополнение элемента а23:

Алгебраическое дополнение элемента а23 будет равно -1^(2+3) * Минор элемента а23:

(-1)^(2+3) * (-3) = -3

Теперь вычислим определитель detA.

а) Разложение определителя по элементам 1-ой строки:
detA = 6 * (-1)^(1+1) * |1 0 2| + 0 * (-1)^(1+2) * |6 -7 4| + 2 * (-1)^(1+3) * |-3 2 1| = 6 * |1 0 2| - 0 * |6 -7 4| + 2 * |-3 2 1|

б) Разложение определителя по элементам 3-го столбца:
detA = 5 * (-1)^(3+1) * |-3 2 1| - (-5) * (-1)^(3+2) * |6 -7 4| + 2 * (-1)^(3+3) * |1 0 2| = 5 * |-3 2 1| + 5 * |6 -7 4| + 2 * |1 0 2|

в) Для получения нулей в произвольной строке или столбце, допустим, мы хотим получить 0 в 1-ой строке. Используя разложение по этой строке:
detA = 0 * (-1)^(1+1) * |1 0 2| - 4 * (-1)^(1+2) * |6 -7 4| + 5 * (-1)^(1+3) * |-3 2 1| + 2 * (-1)^(1+4) * |5 -5 2| = -4 * |6 -7 4| + 5 * |-3 2 1| - 2 * |5 -5 2|

Теперь произведем вычисления для определителя detA:

а) detA = 6 * (1*2 - 0*1) - 0 * (6*1 - (-7)*(-3)) + 2 * ((-3)*1 - 2*(-3)) = 6 * 2 - 0 * (-13) + 2 * (-3) = 12 + 0 - 6 = 6

б) detA = 5 * ((-3)*1 - 2*1) + 5 * (6*1 - (-7)*(-3)) + 2 * (1*2 - 0*(-3)) = 5 * (-5) + 5 * (21) + 2 * 2 = -25 + 105 + 4 = 84

в) detA = -4 * (6*1 - (-7)*(-3)) + 5 * ((-3)*1 - 2*(-3)) - 2 * (5*(-3) - (-5)*(-3)) = -4 * (6+21) + 5 * (-3+6) - 2 * (-15+15) = -4 * 27 + 5 * 3 - 2 * 0 = -108 + 15 = -93

Таким образом, определитель detA равен:
а) detA = 6
б) detA = 84
в) detA = -93