На основе чего Россия решила, что она наследник Римской Империи?

Два Рима пали, третий стоит, четвертого не бывать. Москва - третий Рим, сказано 500 лет назад.

Потому что Византия - это восточная Римская Империя.
Кстати, бабушка Ивана Грозного - Софья Палеолог, из византийской императорской династии Палеологов.

Византийской, т.к. была ее культурным последователем, а та погибла.

Аристократия готовит реставрацию монархии при откате в феодализм.