Математика (разносторонний курс)

Для решения данного уравнения нужно разделить его на две части: одну с cos3x и sin3x, а другую без них.

Сначала решим часть уравнения без cos3x и sin3x:
x(-5A*sin3x + (12A - 5B)cos3x) + 25A*sin3x + 25B*cosx = sinx

Разделим обе части на x:
-5A*sin3x + (12A - 5B)cos3x + 25A*sin3x/x + 25B*cosx/x = sinx/x

Упростим выражение на левой стороне уравнения, положив 25A*sin3x/x + 25B*cosx/x = 0, так как оно равно нулю:
-5A*sin3x + (12A - 5B)cos3x = sinx

Разделим обе части уравнения на sinx:
-5A*sin3x/sinx + (12A - 5B)cos3x/sinx = 1

Пользуясь тригонометрическими тождествами, заменим sin3x/sinx на 3cos2x и cos3x/sinx на 3sin2x:
-5A*3cos2x + (12A - 5B) * 3sin2x = 1

Упростим выражение:
-15Acos2x + 36Asin2x - 15Bsin2x = 1

Добавим и вычтем -15Asin2x от коэффициента 36Asin2x:
-15Acos2x - 15Asin2x + 15Asin2x + 36Asin2x - 15Bsin2x = 1

Воспользуемся тригонометрическими формулами для cos(α + β) и sin(α + β):
-15A(cos2x + sin2x) + 15A(sin2x + 3sin2x) - 15Bsin2x = 1

Сократим общие слагаемые:
-15A*1 - 15Bsin2x = 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
-15A - 15Bsin2x - 1 = 0

Упростим:
-15A - 1 - 15Bsin2x = 0

Теперь решим часть уравнения с cos3x и sin3x:
(6A + 4B)cos3x + (4A - 6B)sin3x + 25A*sin3x + 25B*cosx = sinx

Пользуясь тригонометрическими тождествами, заменим sin3x на (1 - cos2x) и cos3x на (1 - sin2x):
(6A + 4B)(1 - sin2x) + (4A - 6B)(1 - cos2x) + 25A*(1 - cos2x) + 25B*cosx = sinx

Раскроем скобки:
(6A + 4B - 6A*sin2x - 4B*sin2x) + (4A - 6B - 4A*cos2x + 6B*cos2x) + (25A - 25A*cos2x) + 25B*cosx = sinx

Сократим общие слагаемые:
-10A*sin2x + 2B*sin2x + 2A*cos2x + 20B*cos2x + 25B*cosx = sinx

Сгруппируем слагаемые с cosx:
25B*cosx + (2A*cos2x + 20B*cos2x) -10A*sin2x + 2B*sin2x = sinx

Пользуясь тригонометрическими формулами для cos(α + β) и sin(α + β), заменим cos2x на (1 - sin2x):
25B*cosx + (2A*(1 - sin2x) + 20B*(1 - sin2x)) - 10A*sin2x + 2B*sin2x = sinx

Раскроем скобки:
25B*cosx + (2A - 2A*sin2x + 20B - 20B*sin2x) - 10A*sin2x + 2B*sin2x = sinx

Сгруппируем слагаемые:
25B*cosx + 2A + 20B - 10A*sin2x - 2A*sin2x + 2B*sin2x - 20B*sin2x = sinx

Упростим:
25B*cosx + 2A + 20B - 12A*sin2x - 18B*sin2x = sinx

Теперь у нас есть два уравнения:
-15A - 1 - 15Bsin2x = 0
25B*cosx + 2A + 20B - 12A*sin2x - 18B*sin2x = sinx

Необходимо решить систему этих уравнений для нахождения значений A и B.