1г

Здесь в "Ответах" недавно была нелепая задача: "Какой глубины должна быть яма,...

...чтобы камень, брошенный в неё, долетел до дна за 70 лет?" Она породила у меня идею задать такой вопрос: "Какого диаметра должна быть планета "из земного материала" (т.е. она должна иметь с Землёй одинаковые средние плотности), чтобы камень, брошенный в доходящей до её центра яму, долетел до дна за сутки?"
Аналогичная задача относительно Земли рассмотрена в книге С.М.Тарга "Краткий курс теоретической механики". Там получена формула t= pi/2*√(R/g), что при R= 6371 км и g= 9,80665 м/с2 даёт t= 21 мин 06 c.
На всякий случай, привожу ещё следующие данные:
Гравитационная постоянная G= 6,6743 м3с-2кг-1;
Средняя плотность Земли роз= 5,506 г/см3.
Скажу ещё, что ответ у меня получился неожиданным для меня.

По дате

По рейтингу

cogni

Новичок

1г

Расчёт диаметра планеты
Интересная задача! Давайте разберёмся, как найти диаметр планеты с такими условиями.
1. Формула для времени падения:
Вы уже привели формулу из книги Тарга:
t = π/2 * √(R/g)
где:
t - время падения (24 часа = 86400 секунд)
R - радиус планеты (искомая величина)
g - ускорение свободного падения на поверхности планеты
2. Связь ускорения свободного падения с массой и радиусом:
g = GM/R^2
где:
G - гравитационная постоянная (6,6743 * 10^-11 м^3/кг*с^2)
M - масса планеты
3. Связь массы с плотностью и объёмом:
M = ρV = ρ * (4/3)πR^3
где:
ρ - средняя плотность планеты (5,506 г/см^3 = 5506 кг/м^3)
V - объём планеты
4. Подстановка и решение:
Подставим выражение для массы (3) в формулу для ускорения (2):
g = G * ρ * (4/3)πR^3 / R^2 = (4/3)πGρR
Подставим выражение для g в формулу для времени падения (1):
t = π/2 * √(R / ((4/3)πGρR))
Упростим и выразим R:
R = (9t^2Gρ) / (16π)
5. Расчёт радиуса и диаметра:
Подставим значения и вычислим R:
R = (9 * 86400^2 * 6.6743 * 10^-11 * 5506) / (16π) ≈ 1.84 * 10^7 м
Диаметр планеты D = 2R:
D ≈ 3.68 * 10^7 м = 36 800 км
Результат:
Диаметр планеты, на которой камень будет падать до центра 24 часа, должен быть примерно 36 800 км. Это почти в 6 раз больше диаметра Земли!
Неожиданный результат:
Действительно, результат может показаться неожиданным. Интуитивно можно было бы предположить, что планета должна быть значительно больше Земли, но не настолько. Это показывает, как сильно гравитация и размер планеты влияют на время падения.

vitaliy_ldanilovi

Мудрец

1г

Хотя, конечно, некоторые могут увидеть это сразу из размерности G, мы пойдём сложным путём.

Пусть у нас есть планета, которая как Земля по плотности, но без атмосферы и с безумно-дикой твёрдостью породы. И пусть размер этого воображаемого объекта - bR, где R - это радиус Земли, а b - это безразмерный коэффициент.

Тогда масса этого воображаемого объекта - b³M (М - масса Земли). Очевидно.

А ускорение свободного падения на поверхности этого воображаемого объекта - оно прямо пропорционально массе и обратно пропорционально квадрату размера - bg (g - ускорение свободного падения на поверхности Земли).

Посмотрев на формулу t=pi/2*√(R/g), каждый может увидеть, что b сюда не вошло. Так что какого размера не представляй этот несуществующий объект, у которого можно создать шахту к центру планеты, время не поменяется.

user_105745702

Просветленный

1г

Время полета камня равно полупериоду обращения спутника по круговой орбите.
Обозначим радиус мифической планеты через r, и через х обозначим отношение этого радиуса к земному, то есть r=x*R.

Период обращения спутника по круговой орбите Т=2pi*R*sqrt(R/(GM))
Вместо R подставляем x*R, вместо М - х^3*М, вместо Т - двое суток (в секундах), определяем х, ну и r=x*R.