Дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли

Хорошо, давайте вместе решим это дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид y' + p(x)y = q(x)y^n, где n не равно 1.

Для начала перепишем уравнение в стандартной форме:

y' + 2y = y^2 e^x

Теперь домножим обе части уравнения на e^(-2x), чтобы привести его к уравнению в форме, пригодной для решения:

e^(-2x)y' + 2e^(-2x)y = e^x y^2

Теперь введем подстановку z = e^(-x)y:

z' = e^(-x)y' - e^(-x)y

Тогда уравнение примет вид:

z' + 2z = e^x

Теперь решим линейное неоднородное дифференциальное уравнение, используя метод вариации постоянных.
Общее решение однородного уравнения z' + 2z = 0 имеет вид:

z_h = Ce^(-2x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде z_p = A e^x, подставим его в исходное уравнение и найдем коэффициент A:

A'e^x + 2Ae^x = e^x
A' = 1

Значит, A = x, а частное решение неоднородного уравнения имеет вид z_p = xe^x.

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения:

z = z_h + z_p = Ce^(-2x) + xe^x

Теперь вернемся к подстановке z = e^(-x)y:

e^(-x)y = Ce^(-2x) + xe^x

y = Ce^(-x) + x

Итак, общее решение исходного дифференциального уравнения:

y = Ce^(-x) + x

Таким образом, получается, что ваше решение было неверным. Полученное нами решение должно быть верным для данного дифференциального уравнения.

Делал ИИ ( Ссылка )