Помогите решить два дифура второго порядка.

Question

Помогите решить два дифура второго порядка.

Олег Дипникович Мастер (2405), закрыт 4 недели назад

x = x(t); y = y(t)

mx" = -kx'
my" = -mg - ky'

Нужно получить четыре решения с разными начальными условиями(два с одними начальными условиями, два с другими)
x1(0) = 0; x1'(0) = v; y1(0) = 0; y1'(0) = 0

x2(0) = Lcos30; x2'(0) = -0.5v; y2(0) = 0.5L; y2'(0) = sin(60)v

Через сайты решать не надо) там знак начальных условий как то не учитывается. Как можно заметить, у нас первая точка летит из (0;0) горизонтально вправо, вторая - из (Lcos30; 0.5L) влево-вверх. На сайтах не учитывают почему-то знак силы сопротивления(например, если y2'>0, -ky2'<0, если y2'<0, -ky2'>0)

Дополнен 2 месяца назад

Можно также решить настолько проще, насколько можно? За дифуры второго порядка не брался, но там капец какой то с линалом вместе, так что.. надеюсь на простые способы(чтоб можно было перепроверить)

Answer 1

Евгений Высший разум (190576) 2 месяца назад

Вот я Вам написал решение относительно Икса. Но лучше бы увидеть исходную задачу

Олег ДипниковичМастер (2405) 2 месяца назад

Спасибо, вот задача:

Евгений Высший разум (190576) Олег Дипникович, Вашу задачу я решил неверно, сегодня вечером исправлю

ЕвгенийВысший разум (190576) 2 месяца назад

Вот ответ на первый вопрос

ЕвгенийВысший разум (190576) 2 месяца назад

https://tasks.olimpiada.ru/upload/files/tasks/74/2023/sol-phys-10-teor-final-23-24.pdf

Answer 2

Tania Гений (59368) 2 месяца назад

1-е уравнение. однородное
х'=z
тогда
dz/z=(-k/m)dt
его решение
ln(z/z0)=(-k/m)(t-t0)
z/z0=exp((-k/m)(t-t0))
начальные значения сами подставьте. потом ещё раз проинтегрируете и получите х.
**
2-е уравнение - это неоднородное. для его решения решаете сначала неоднородное (как и 1-е уравнение). потом ищите частное решение неоднородного уравнения. решением - будет сумма общего однородного уравнения+решение частного неоднородного уравнения.
это вы сами. у вас простое уравнение. во всех учебниках есть примеры решения.

Олег ДипниковичМастер (2405) 2 месяца назад

Как я мог не догадаться сделать замену.. x' = z, x" = z'. Спасибо

Олег ДипниковичМастер (2405) 2 месяца назад

У меня вопрос созрел. Когда мы решаем дифур и получаем логарифм с модулем, мы делаем так:
ln|P|=C, |P|=exp(C), P=+-exp(С) = C1. Вопрос, как мы можем +-exp(С) назвать константой, если при определенном P, C1<0, при другом C1>0?

Tania Гений (59368) Олег Дипникович, потому что это дифуры. а не детский сад. *** интересно - и где при интегрировании может вдруг появиться модуль? просто пример приведите...)

Олег ДипниковичМастер (2405) 2 месяца назад

Хотя ещё вопрос. А почему нельзя просто проинтегрировать первое уравнение и работать с первым порядком? То же самое что вторым

TaniaГений (59368) 2 месяца назад

диффуры изучают в высшей школе и не на 1-м курсе..
а логарифмы - в школе изучают.

TaniaГений (59368) 2 месяца назад

мне не верите про модуль - вот вам страничка из Справочника

Олег Дипникович Мастер (2405) Tania,

И на Ютубе везде так. Ну, если докажите предел и там не будет модуля, то может и поверю.. я таблицу не выводил сам, просто запомнил.

TaniaГений (59368) 2 месяца назад

Только для положительных чисел

Олег Дипникович Мастер (2405) Tania, А. Не ладно. Так функция может быть отрицательна, поэтому логарифм берется от МОДУЛЯ этой функции. И во всех таблицах в интернете стоит модуль