9мес

Градиент. Векторное и скалярное поля

Начнем с векторного и скалярного полей. Они определяются, как отображения точек в вектор/скаляр соответственно. А что такое точка? Что такое координаты точки? Разве не правильнее говорить о векторах? Т.е. векторное поле - функция, отображающая вектор в вектор. Скалярное - вектор в скаляр. Потому что из-за этого у меня возникает следующее недопонимание.

Оно заключается в том, что я не понимаю, по какому принципу идёт отображение градиентом скалярной функции в вектор. Вот есть у нас функция от нескольких переменных. Мы взяли по каждой производную, хорошо. Но как мы определяем, к какой производной, какой базис-вектор сопоставить? Притом это отображение идёт в векторное пространство, из которого отображает скалярная функция или в какое-то другое? (Это из предположения, что все ж скалярное и векторное поля отображают векторные пространства, а не точки).

Пример. Евклидово двумерное пространство. Скалярная функция ф=х²+y². Взяли градиент: gradф = 2х i+ 2y j, вопрос, почему i, j именно при х, y соотв.? Этот вектор gradф какому пространству вообще принадлежит?

По дате

По Рейтингу

43d_grossmeister

Мастер

9мес

Но как мы определяем, к какой производной, какой базис-вектор сопоставить?

Ну у тебя grad(f) = (∂f / dx1, ∂f / dx2 ...) первой координате соответствует i, второй j ну и т.д. Просто по определению.

Притом это отображение идёт в векторное пространство, из которого отображает скалярная функция или в какое-то другое?

Ну да, т.е. в каждой точке области ты определили вектор grad(f) , другими словами задал векторное поле

А что такое точка?

Это вопрос на границе с философией

Что такое координаты точки? Разве не правильнее говорить о векторах?

Так координаты обычно и определяют через вектора, т.е. радиус-вектор записывают в виде суммы базисных векторов, коэффициенты при базисных векторах и есть координаты точки (вроде бы стандартное определение)