Зачем комплексные числа нужны в линейной алгебре

Над C почти всякая квадратная матрица диагонализируется внутренним автоморфизмом алгебры матриц (то есть преобразованием подобия - по сути, приведением матрицы к другому базису), а с диагональными матрицами работать не сильно сложнее, чем с числами.
Сие должно излагаться в главе учебника, посвященной жордановой нормальной форме. Матрицы, чья ЖНФ имеет жорданову клетку размера больше единички, образуют множество меры нуль в адекватном пространстве всех подряд комплексных матриц порядка n (сие пространство можно естественным образом рассматривать как (2n)^2-мерное вещественное, чтоб меру ввести).

Например, матричную экспоненту от диагональной матрицы считать - одно удовольствие, диагональ просто экспоненциируется поэлементно. А экспонентой клево анимировать че-нить, наиболее естественным образом зависящее от времени - например, вращение космического корабля и т.п.
Ну и решение линейных систем обычновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - это, по сути, тоже об анимациях всяких, о мультиках многомерных. Их же интересно смотреть, правда?
А кому-то интересно за какой-нибудь унитарной эволюцией системы следить. Это же тоже мультик в дурацком пространстве.

Ты попробуй получить хотя бы аналог формулы Бине для однородного линейного рекуррентного уравнения второго порядка с отрицательным дискриминантом характеристического уравнения. Мне больше всего нравится это делать диагонализацией комплексной матрицы. Как тебе это нравится делать - не знаю.