Помогите решить задание по математике
М1. Рассмотрим множество точек, удовлетворяющих уравнению: 𝑥^2 + 2𝑥 + 𝑦^2 + 4𝑦 = 4|2𝑥 − 𝑦|. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями указанного множества.
Для начала преобразуем уравнение:
𝑥^2 + 2𝑥 + 𝑦^2 + 4𝑦 = 4|2𝑥 − 𝑦|
𝑥^2 + 2𝑥 + 𝑦^2 + 4𝑦 = 4√((2𝑥 − 𝑦)^2)
𝑥^2 + 2𝑥 + 𝑦^2 + 4𝑦 = 4√(4𝑥^2 - 4𝑥𝑦 + 𝑦^2)
𝑥^2 + 2𝑥 + 𝑦^2 + 4𝑦 = 8√(𝑥^2 - 𝑥𝑦 + 𝑦^2)
𝑥^2 + 2𝑥 + 𝑦^2 + 4𝑦 = 8√(𝑥^2 - 𝑥𝑦 + 𝑦^2)
(𝑥 + 1)^2 - 1 + (𝑦 + 2)^2 - 4 = 8√((𝑥 - 0.5𝑦)^2 + 0.75𝑦^2)
Полученное уравнение представляет собой окружность радиуса r = 8 и центром в точке (-1,-2).
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями данного множества, равна площади окружности с радиусом r = 8:
S = πr^2 = π * 8^2 = 64π
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями указанного множества, равна 64π.
Приведем уравнение к более удобному виду:
x^2 + 2x + y^2 + 4y = 4|2x - y|
Рассмотрим два случая для модуля: Случай 1: 2x - y >= 0
x^2 + 2x + y^2 + 4y = 4(2x - y)
Упростим:
x^2 + 2x + y^2 + 4y = 8x - 4y
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
x^2 + 2x - 8x + y^2 + 4y + 4y = 0
x^2 - 6x + y^2 + 8y = 0
Завершим квадраты:
(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 0
(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25
Это уравнение окружности с центром (3, -4) и радиусом 5. Случай 2: 2x - y < 0
x^2 + 2x + y^2 + 4y = 4(-2x + y)
Упростим:
x^2 + 2x + y^2 + 4y = -8x + 4y
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
x^2 + 2x + 8x + y^2 + 4y - 4y = 0
x^2 + 10x + y^2 = 0
Завершим квадраты:
(x + 5)^2 - 25 + y^2 = 0
(x + 5)^2 + y^2 = 25
Это уравнение окружности с центром (-5, 0) и радиусом 5.
Найдем площадь фигуры:
Фигура состоит из двух окружностей с радиусом 5. Площадь одной окружности:
S = π r^2 = π * 5^2 = 25π
Поскольку фигура состоит из двух таких окружностей, общая площадь:
S_общ = 2 * 25π = 50π
Ответ:
50