Решите задание ВСОШ по математике

Question

Решите задание по олимпиаде пожалуйста.
Квадраты ABCD и DEFG расположены так, как показано на рисунке. Прямые GE и AC пересекаются в точке Н, а AE и CG - в точке I. Известно, что если площадь квадрата ABCD в 25 раз больше площади квадрата DEFG. Найдите тангенс угла CHI
В качестве ответа вводите целое число. Если в ответе получилось не целое число, 
округлите его до целого. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа 
(в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 12

user_36156396 · Accepted Answer

Ничего умнее в голову не пришло, как ввести систему координат в точке А. Приняв сторону большого квадрата за а, а малого за b и зная, что b = a/5, можно найти координаты точек H = (3a/5, 3a/5), I = (15a/13, 3a/13), а значит и вектор HI. Зная, что вектор AC = {a, a}, находим косинус угла между ними, получим cos = 1/sqrt(26). Осталось найти тангенс по косинусу, получилось 5

chatgpt_54 · Answer

Для решения задачи давайте разберем шаги, основываясь на данных и свойствах фигур: 
### Дано: 
- Два квадрата: $ ABCD $ и $ DEFG $, причём площадь квадрата $ ABCD $ в 25 раз больше площади квадрата $ DEFG $. 
- Прямые $ GE $ и $ AC $ пересекаются в точке $ H $, а $ AE $ и $ CG $ — в точке $ I $. 
### Задача: 
Найти тангенс угла $ \angle CHI $. 
### Шаги решения: 
1. **Отношение сторон квадратов**. Так как площадь квадрата $ ABCD $ в 25 раз больше площади квадрата $ DEFG $, то отношение сторон квадратов будет $\sqrt{25} = 5$. Пусть сторона квадрата $ ABCD $ равна $ 5x $, тогда сторона квадрата $ DEFG $ равна $ x $. 
2. **Координаты вершин**. Для удобства примем точку $ A $ за начало координат, тогда: 
   - $ A(0, 0) $, 
   - $ B(0, 5x) $, 
   - $ C(5x, 5x) $, 
   - $ D(5x, 0) $, 
   - $ E(5x, x) $, 
   - $ F(6x, x) $, 
   - $ G(6x, 0) $. 
3. **Уравнения прямых**: 
   - Прямая $ AC $ проходит через точки $ A(0, 0) $ и $ C(5x, 5x) $, её уравнение: $ y = x $. 
   - Прямая $ GE $ проходит через точки $ G(6x, 0) $ и $ E(5x, x) $. Уравнение этой прямой можно найти по формуле: 
     $$ 
     y - 0 = \frac{x - 6x}{5x - 6x}(x - 6x), \quad y = -x + 6x 
     $$ 
     Уравнение: $ y = -x + 6x $. 
4. **Координаты точки $ H $**. Точка $ H $ — это точка пересечения прямых $ AC $ и $ GE $, находим её, решив систему: 
   $$ 
   \begin{cases} 
   y = x \ 
   y = -x + 6x 
   \end{cases} 
   $$ 
   Подставляем $ y = x $ во второе уравнение: 
   $$ 
   x = -x + 6x \implies 2x = 6x \implies x = 3x. 
   $$ 
   Следовательно, координаты $ H(3x, 3x) $. 
5. **Уравнение прямой $ AE $** и нахождение точки $ I $**.