Имеется 9 шаров: 2 черных 2 красных 2 белых 3 синих. Найти число способов, которыми можно разложить их в ряд по шесть

Достаточно просто.
Шесть шаров могут быть выбраный всего тремя составами:
1) 3 шара синего цвета + 2 шара другого цвета +1 шар третьего цвета
Выбрать такой состав шаров можно 3!=6 способами, а именно:
3с+2ч+1к
3с+2ч+1б
3с+2к+1ч
3с+2к+1б
3с+2б+1ч
3с+2б+1к
Разложить каждый такой состав в ряд по 6 можно 6!/(3!*2!)=60 способами. Итого 6*60=360 способов
2) 2 шара одного цвета + 2 шара другого цвета + 2 шара третьего цвета.
Выбрать такой состав шаров можно четырьмя способами (полностью убрав шары одного из четырех цветов и оставив шары трех других цветов):
2ч+2к+2б
2ч+2к+2с
2ч+2б+2с
2к+2б+2с
Разложить каждый такой состав в ряд по 6 можно 6!/(2!)^3=90 способами. Итого 4*90=360 способов
3) 2 шара одного цвета + 2 шара другого цвета + 1 шар третьего цвета + 1 шар четвертого цвета.
Выбрать такой состав можно 4!/(2!)^2=6 способами, а именно:
2ч+2к+1б+1с
2ч+2б+1к+1с
2ч+2с+1к+1б
2к+2б+1ч+1с
2к+2с+1ч+1б
2б+2с+1ч+1к
Разложить каждый такой состав в ряд по 6 можно 6!/(2!)^2=180 способами. Итого 6*180=1080 способов.
Таким образом, всего получается 360+360+1080=1800 способов разложить эти девять шаров в ряд по шесть.