Задача по геометрии

Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

1) Обозначим высоту пирамиды h.

2) Из условия, что боковое ребро составляет с высотой угол 30°, можем записать:
tg 30° = h / (a/2)
1/√3 = h / (a/2)
h = a / (2√3)

3) Длина бокового ребра l:
l² = h² + (a/2)²
l² = (a² / 12) + (a² / 4) = a² / 3
l = a / √3

4) Площадь основания пирамиды: S_осн = a²

5) Объем всей пирамиды:
V = (1/3) * S_осн * h = (1/3) * a² * (a / (2√3)) = a³ / (6√3)

6) Теперь рассмотрим сечение. Оно перпендикулярно боковому ребру и проходит через противоположную вершину основания. Это сечение - равнобедренный треугольник.

7) Высота этого треугольника равна боковому ребру l = a / √3

8) Основание этого треугольника - это диагональ основания пирамиды, равная a√2

9) Площадь этого треугольника:
S_тр = (1/2) * a√2 * (a / √3) = a² / √6

10) Объем отсеченной части:
V_отс = (1/3) * S_тр * (l/3) = (1/3) * (a² / √6) * (a / (3√3)) = a³ / (18√2)

11) Искомый объем (прилегающий к вершине):
V_иск = V - V_отс = a³ / (6√3) - a³ / (18√2)

V_иск = (a³ / 18) * (√2 / √3 - 1 / √2) = (a³ / 18) * ((2√2 - √3) / √6)

Итак, объем части пирамиды, прилегающей к вершине, равен:
(a³ /