Геометрия 11 класс

1. Обозначим точки:

• Пусть O — центр окружности.

• Точки A и B — концы диаметра.

• Точка C — произвольная точка на окружности.

2. Данные:

• Радиус окружности R = 20 .

• Длина отрезка AC = 14 .

3. Находим длину отрезка OC :
Поскольку O — центр окружности, длина отрезка OC равна радиусу:

OC = R = 20.


4. Находим длину отрезка OA :
Длина отрезка OA также равна радиусу:

OA = R = 20.


5. Используем теорему косинусов в треугольнике OAC :
В треугольнике OAC :

AC² = OA² + OC² - 2 ⋅ OA ⋅ OC ⋅ cos(∠ AOC).


Подставим известные значения:

14² = 20² + 20² - 2 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ cos(∠ AOC).


Это дает:

196 = 400 + 400 - 800 cos(∠ AOC).


Упростим это уравнение:

196 = 800 - 800 cos(∠ AOC).


Переносим все в одну сторону:

800 cos(∠ AOC) = 800 - 196,


800 cos(∠ AOC) = 604,



cos(∠ AOC) = 604 / 800 = 0.755.



6. Находим угол ∠ ABC :
Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC . По свойству вписанных углов:

∠ ABC = 1 / 2 ∠ AOC.



7. Находим синус угла ABC :
Сначала найдем синус угла AOC :
Используем формулу:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1,


где θ = AOC :

sin²(AOC) = 1 - (0.755)² = 1 - 0.570025 = 0.429975,


следовательно,

sin(AOC) = √(0.429975) ≈ 0.655.



8. Теперь найдем синус угла ABC :
Используя, что

sin(ABC) = sin((1 / 2 AOC)),


можно использовать формулу для половинного угла:

sin((θ / 2)) = √((1 - cos(θ)/)2}.



9. Подставляем значение косинуса:

sin(ABC) = √((1 - 0.75)/)2} = √((0.24)/)2} = √(0.1225) = 0.35.


Таким образом, ответ:

sin(∠ ABC) ≈ 0.35.