Математика уравнение плоскости

Для составления уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и параллельной двум другим прямым, нужно выполнить несколько шагов.

▎1. Определение направления прямой

Данная прямая задана в параметрической форме:
x = 3t + 1
y = 2t + 3


Для нахождения направления данной прямой мы можем выразить вектор направления:
d = (3, 2, 0)


▎2. Нахождение нормального вектора плоскости

Плоскость, параллельная двум другим прямым, будет иметь нормальный вектор, который можно найти как произведение векторов их направлений.

Прямые заданы уравнениями:
1. 2x - y + z - 3 = 0
2. x + 2y - z - 5 = 0

Нормальные векторы для этих прямых:
- Для 1-й прямой: \( n1 = (2, -1, 1) \)
- Для 2-й прямой: \( n2 = (1, 2, -1) \)

Теперь можно найти векторное произведение, чтобы получить нормальный вектор плоскости:
n = n1 × n2


Вычисляем:
n = |i j k |
|2 -1 1 |
|1 2 -1 |

n = ( (-1)*(-1) - (1*2), (1*1 - (2*-1)), (2*2 - (-1)*1) )
= (1 - 2, 1 + 2, 4 + 1)
= (-1, 3, 5)


▎3. Уравнение плоскости

Используя точку, через которую проходит прямая (например, для t=0):
(1, 3, 0)


Уравнение плоскости в общем виде:
-1(x - 1) + 3(y - 3) + 5(z - 0) = 0


Раскрываем скобки:
-x + 1 + 3y - 9 + 5z = 0


▎4. Приведение к стандартному виду

Преобразуем уравнение:
-x + 3y + 5z - 8 = 0


Финальное уравнение плоскости:
-x + 3y + 5z = 8


Ответ: уравнение плоскости: -x + 3y + 5z = 8.