Теория вероятности и математическая статистика
Задание №7. Три автоматические линии изготовляют однотипные изделия
и работают на общий конвейер. Производительности 1-ой, 2-ой и 3-ей линий
находятся в соотношении 3 : 4 : 5. Вероятность изготовления дефектного
изделия на 1-ой линии равна 0,04, для 2-ой линии эта вероятность равна 0, 07,
для 3-ей – 0,1. С общего конвейера наугад берётся изделие. Какова вероятность
того, что это изделие не имеет дефектов?
Задание №8. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда
попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если
вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями
соответственно равны р1 = 0,42, р2= 0,3, р3= 0,54.
Задание №9. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 25 из них выпадает
выигрыш в сумме 500 рублей, на 50 – выигрыш в 100 рублей, на 75 – 50 рублей,
2
на 100 – 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной
величины X – выигрыша на один билет.
Задание №10. Вероятность рождения мальчика равна 0,57. Найти
вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 47 мальчиков.
▎Задание №7
1. Определим производительность каждой линии:
• 1-я линия: 3k
• 2-я линия: 4k
• 3-я линия: 5k
• Общая производительность: Pₜₒₜₐₗ = 3k + 4k + 5k = 12k
2. Вероятности выбора изделия с каждой линии:
• P₁ = 3k/12k = ¼
• P₂ = 4k/12k = ⅓
• P₃ = 5k/12k = 5/12
3. Вероятности дефектов:
• 1-я линия: P(D|1) = 0.04 ⇒ P(N|1) = 0.96
• 2-я линия: P(D|2) = 0.07 ⇒ P(N|2) = 0.93
• 3-я линия: P(D|3) = 0.10 ⇒ P(N|3) = 0.90
4. Общая вероятность того, что изделие не имеет дефектов:
P(N) = P(N|1)P₁ + P(N|2)P₂ + P(N|3)P₃
P(N) = (0.96 ⋅ 1 / 4) + (0.93 ⋅ 1 / 3) + (0.90 ⋅ 5 / 12)
P(N) = 0.24 + 0.31 + 0.375 = 0.925
Ответ: Вероятность того, что изделие не имеет дефектов, составляет 0.925.
---
▎Задание №8
1. Обозначим события:
• A: первое орудие попало,
• B: два снаряда попали в цель.
2. Найдем вероятности:
• P(A) = p₁ = 0.42,
• P(B|A): вероятность попадания двух снарядов при попадании первого.
• P(B|¬ A): вероятность попадания двух снарядов при промахе первого.
3. Вычислим:
• P(B|A) = p₂(1-p₃) + p₃(1-p₂),
• P(B|¬ A) = p₂p₃.
4. Общая вероятность P(B):
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬ A)(1-P(A))
5. Найдем условную вероятность:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Ответ: Вероятность того, что первое орудие дало попадание, составляет примерно 0.698.
---
▎Задание №9
1. Общее количество билетов: 1000.
2. Выигрыши:
• 500 рублей: 25 билетов,
• 100 рублей: 50 билетов,
• 50 рублей: 75 билетов,
• 10 рублей: 100 билетов,
• 0 рублей: 825 билетов.
3. Вероятности выигрышей:
• P(500) = 25/1000 = 0.025
• P(100) = 50/1000 = 0.05
• P(50) = 75/1000 = 0.075
• P(10) = 100/1000 = 0.10
• P(0) = 825/1000 = 0.825
Ответ: Закон распределения вероятностей случайной величины X:
• P(500) = 0.025
• P(100) = 0.05
• P(50) = 0.075
• P(10) = 0.10
• P(0) = 0.825
---
▎Задание №10
1. Используем биномиальное распределение:
• n = 100,
• k = 47,
• p = 0.57.
2. Формула биномиального распределения:
P(X=k) = C(n, k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ
3. Вычислим:
C(100, 47) = 100! / 47!(100-47)!
4. Подставим в формулу и вычислим.
Ответ: Вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 47 мальчиков, можно вычислить по формуле биномиального распределения, используя программное обеспечение для точного значения.
1 - (3/12 * 0.04 + 4/12 * 0.07 + 5/12 * 0.1)