Параллельность прямой и плоскости. Параллельность прямых в пространстве
3. Дано: ABCD - трапеция, AM = MB, CN = ND, BC = a.
Докажите, что AD || MN.
Из равенства углов AMB и ABD следует, что отрезки AD и MN являются параллельными: AD || MN.
Доказательство того, что MN || AD в трапеции ABCD, где AM = MB и CN = ND, можно провести следующим образом:
1. Введем обозначения:
⦁ Обозначим середину отрезка BC как точку K.
2. Рассмотрим треугольник ABC:
⦁ В треугольнике ABC отрезок MK является средней линией, так как M — середина AB (по условию).
⦁ Следовательно, MK || AC и MK = AC/2 (свойство средней линии треугольника).
3. Рассмотрим треугольник BCD:
⦁ В треугольнике BCD отрезок NK является средней линией, так как N — середина CD (по условию).
⦁ Следовательно, NK || BD и NK = BD/2 (свойство средней линии треугольника).
4. Рассмотрим четырехугольник AMND:
⦁ По условию, точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно.
⦁ Отрезок MN является средней линией трапеции ABCD.
⦁ Следовательно, MN AD и MN BC, а также MN = (AD + BC)/2 (свойство средней линии трапеции).
Поскольку MN BC и BC = a, то MN параллельно основанию BC. Так как трапеция ABCD по условию имеет основания AD и BC, и MN BC, то MN || AD.
Таким образом, мы доказали, что MN || AD.
