Уравнение плоскости и значение коэффициента D.

Вы абсолютно правы, что при проверке, лежит ли точка на плоскости, коэффициент D кажется “неважным” в том смысле, что если точка удовлетворяет уравнению с одним значением D, то она удовлетворит и с другим (кроме случая D=0 и начала координат). Но это не значит, что D можно взять абсолютно любым при определении уравнения плоскости. Вот почему:

Что представляет собой уравнение Ax + By + Cz + D = 0?

Это общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Важно понимать, что оно определяет множество точек (x, y, z), которые лежат на этой плоскости.

(A, B, C) - это компоненты нормального вектора к плоскости. Нормальный вектор перпендикулярен плоскости и определяет её ориентацию в пространстве.
D - связан с расстоянием от плоскости до начала координат. Точнее, -D / √(A² + B² + C²) - это расстояние от плоскости до начала координат.
Почему “неважно” D при проверке принадлежности точки?

Предположим, у нас есть точка P(x₀, y₀, z₀), которая действительно лежит на плоскости, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Это означает, что:

Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0

Теперь предположим, что мы изменили D на какое-то другое значение, скажем, D’. Уравнение стало Ax + By + Cz + D’ = 0. Подставим нашу точку P в это новое уравнение:

Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D’ = 0

Но мы знаем, что Ax₀ + By₀ + Cz₀ = -D (из первого уравнения). Подставим это:

-D + D’ = 0

Это уравнение верно только в том случае, если D’ = D. Если D’ ≠ D, то точка P не будет лежать на плоскости, заданной новым уравнением.

Ключевой момент:

Вы не можете “взять D любым” при определении уравнения плоскости. Значения A, B, C и D вместе определяют конкретную плоскость. Изменение D изменит положение плоскости в пространстве (ее расстояние до начала координат).
Вы можете “изменять D” только если вы одновременно изменяете A, B и C так, чтобы уравнение представляло ту же самую плоскость. Например, умножение всего уравнения на константу: kAx + kBy + kCz + kD = 0 представляет ту же самую плоскость.
Пример:

Плоскость x + y + z - 1 = 0

Точка (1, 0, 0) лежит на этой плоскости: 1 + 0 + 0 - 1 = 0
Плоскость x + y + z - 2 = 0 - это другая плоскость. Точка (1, 0, 0) не лежит на ней: 1 + 0 + 0 - 2 = -1 ≠ 0
Однако, плоскость 2x + 2y + 2z - 2 = 0 - это та же самая плоскость, что и x + y + z - 1 = 0.

Почему начало координат - особый случай с D=0?

Если плоскость проходит через начало координат (0, 0, 0), то:

A * 0 + B * 0 + C * 0 + D = 0

Следовательно, D = 0. Если D ≠ 0, то плоскость не может проходить через начало координат. Вот почему D=0 - особое условие для плоскостей, проходящих через начало координат.

Резюме:

При проверке, принадлежит ли точка плоскости, если вы знаете, что точка лежит на плоскости с определенным уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то подстановка координат точки в уравнение даст верное равенство только с тем же значением D. Вы не можете произвольно менять D и ожидать, что точка останется на плоскости. При определении уравнения плоскости, все коэффициенты (A, B, C, D) важны и определяют положение плоскости в пространстве.