Помогите решить олимпиаду по математике

Обозначим заданное равенство как (1):

x_i x_j = x_i+j (x_i + x_j) (*)

для всех натуральных i, j.

Пусть i=1. Тогда

x_1 x_j = x_1+j (x_1 + x_j).

Отсюда x_1+j = x_1 x_j/x_1 + x_j.
В частности, при j=1, x_2 = x_1^2/2x_1 = x_1/2.
Пусть i=j=1. Тогда

x_1^2 = x_2 (2x_1) = x_2 · 2x_1.

Подставляя x_2 = x_1/2, получим x_1^2 = x_1/2· 2x_1 = x_1^2, что верно.

Из (*) положим i=j. Тогда

x_i^2 = x_2i (2x_i).

Так как x_i 0, то x_i = 2x_2i. Следовательно, x_2i = x_i/2.
Подставляя i=1, получим x_2 = x_1/2, что уже было найдено.

Положим i=j=2. Тогда x_4 = x_2/2 = x_1/4.
Предположим, что x_n = x_1/n-1. Тогда x_2n = x_n/2 = x_1/2(n-1).
Но также x_2n = x_1/2n-1, так что x_1/2(n-1) = x_1/2n-1.
Тогда 2(n-1) = 2n-1, то есть 2n-2 = 2n-1, что неверно.
Следовательно, наше предположение неверно.

Положим i=j. Тогда

x_i^2 = x_2i· 2x_i.

Следовательно, x_2i = x_i/2.
Заметим, что x_2 = x_1/2, x_4 = x_2/2 = x_1/4, x_8 = x_4/2 = x_1/8, и т.д.
То есть x_2^n = x_1/2^n.

Пусть j=i+1. Тогда

x_i x_i+1 = x_2i+1 (x_i + x_i+1).

Положим i=1. Тогда x_1 x_2 = x_3 (x_1 + x_2).
Подставляя x_2 = x_1/2, получаем x_1 ·x_1/2 = x_3 (x_1 + x_1/2) = x_3 ·3x_1/2.
Тогда x_1^2/2 = x_3 ·3x_1/2. Следовательно, x_3 = x_1/3.
Предположим, что x_i = x_1/i. Проверим это.

x_i x_j = x_1/ix_1/j = x_1^2/ij.


x_i+j (x_i + x_j) = x_1/i+j (x_1/i + x_1/j) = x_1/i+j· x_1 i+j/ij = x_1^2/ij.

Таким образом, x_i = x_1/i.

Тогда x_i = x_1/i для всех i ∈ℕ.
Тогда x_101 = x_1/101. Из условия x_101 = 2025.
Тогда x_1/101 = 2025, то есть x_1 = 101 · 2025 = 204525.
Нам нужно найти x_25 = x_1/25 = 204525/25 = 8181 · 25/25 = 8181.

Ответ: 8181.

Final Answer: The final answer is 8181