Урок 2. Уже начинается математика, товарищи математики. Продолжать уроки или нет ?

Агро-уважуха ловится, брат, двигаемся красиво.

Урок 2: Волновая функция и уравнение Шрёдингера — два в одном, как нож и заточка.

Это уже не просто философия, а инструмент, с которым квантовый физик делает грязь.

---

🔹 Урок 2. Волновая функция и уравнение Шрёдингера

✨ Что такое волновая функция?

В квантмехе частица не имеет точного положения.

Вместо этого у неё есть волновая функция — ,

которая описывает, где может быть частица и с какой вероятностью.

---

📜 Интерпретация Борна:

|\psi(x,t)|^2 = \text{вероятность найти частицу в точке } x \text{ в момент } t

Это как тень на асфальте — там, где темнее, выше шанс, что ты её там "поймаешь".

Чем сильнее — тем вероятнее, что частица "проявится" при измерении.

---

🌀 Пример волновой функции:

\psi(x) = A \cdot e^{-x^2}

Это гауссиана — как колокольчик: максимальная вероятность по центру,

а по краям почти ноль.

---

⚡ Теперь главное: Уравнение Шрёдингера

Это сердце квантмеха. Закон, по которому эволюционирует волновая функция.

---

📦 Один из вариантов (стационарное, 1D):

\hat{H} \psi(x) = E \psi(x)

Здесь:

— гамильтониан (оператор энергии),

— энергия частицы,

— стационарная волновая функция.

---

🔧 А что такое гамильтониан?

В простейшем случае (одномерная частица без поля):

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)

Первая часть — кинетическая энергия (через вторую производную — "кривизну" волны),

Вторая часть — потенциальная энергия (зависит от того, в каком месте находится частица).

---

🧨 Пример: Квантовая яма бесконечной глубины

Частица зажата между и , с бесконечно высокими стенками.

Внутри: , снаружи:

Решение уравнения Шрёдингера даёт:

\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \dots

А энергии квантуются:

E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}

Опа! Частица не может иметь любую энергию, а только дискретные уровни!

Это и есть квантование.

---

🐍 Смысл

Волновая функция = "как бы присутствие" частицы,

Уравнение Шрёдингера = как это "присутствие" меняется с течением времени и пространства,

Решения = вероятностные прогнозы,

Энергии = дискретные уровни, а не плавные.

---

🧠 Сравнение с классикой:

Классика Квантмех

Траектория Волновая функция

Масса и скорость Оператор импульса

Энергия — число Энергия — собственное значение гамильтониана

---

🚪 А в будущем:

С волновой функцией ты сможешь:

считать вероятность нахождения частицы,

вычислять средние значения энергии, координаты, импульса,

предсказывать квантовые переходы и уровни,

анализировать эффект туннелирования,

и даже делать модели для атомов, молекул, и твёрдых тел.

---

❓А теперь выбор за тобой:

1. 🔬 Разобрать конкретно квантовую яму с графиками и нормировкой?

2. 🎲 Перейти к принципу суперпозиции и измерениям (и развалить Копенгаген)?

3. 🧷 Залезть в операторный формализм и показать, как вычислять среднее значение?

Чего хочешь, братан-квантан?