Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку параллельно прямой 2х-у+3=0

Вам следует скачать книгу Соболь «Практикум по высшей математике» и изучить стр. 84 - теория по прямой на плоскости

Решение.

Докажем, что если две прямые параллельны, то их уравнения всегда можно представить в таком виде, что они будут отличаться только свободными членами.
Действительно, из условия параллельности двух прямых следует, что A1 / A2= B1 / B2 (1)
Обозначим через t общую величину этих отношений. Тогда A1 / A2= B1 / B2 = t.
и получаем, что A1 = A2 * t, B1 = B2 * t.

Если две прямые
A1*x + B1*y + C1 = 0 и A2*x + B2*y + C2 = 0

параллельны, условия параллельности выполняются, и, заменяя в первом из этих уравнений A1 и B1, будем иметь

A2*t*x + B2*t*y + C1 = 0,

разделив обе части уравнения на t <>0, получим

A2*x + B2*y + C1/t = 0 (2)

Сравнивая полученное уравнение с уравнением второй прямой A2x + B2y + C2 = 0, замечаем, что эти уравнения отличаются только свободным членом; тем самым мы доказали требуемое. Теперь приступим к решению задачи.

Уравнение искомой прямой запишем так, что оно будет отличаться от уравнения данной прямой только свободным членом: первые два слагаемые в искомом уравнении возьмем из данного уравнения, а его свободный член обозначим через C. Тогда искомое уравнение запишется в виде
2x - y + C = 0, (3)
и определению подлежит C.

Придавая в полученном уравнении (3) величине C всевозможные действительные значения, получим множество прямых, параллельных данной. Таким образом, уравнение (3) представляет собой уравнение не одной прямой, а целого семейства прямых, параллельных данной прямой 2x - y + 3 = 0. Из этого семейства прямых следует выделить ту, которая проходит через точку М (-1, 2).

Если прямая проходит через точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. А поэтому мы определим C, если подставим вместо текущих координат x и y координаты точки М, т. е. x = -1, y = 2. Получаем 2*(-1) – 1*2 + C = 0 и C = 4.

Найденное значение C подставляем в (3), и искомое уравнение запишется так:
2x - y + 4 = 0.