Помогите срочно. Олимпиадные задачи.
1.Вдоль дороги, вымощенной желтым кирпичом, длиной 37 км стоят несколько домиков (больше одного) . Элли едет на льве по дороге со скоростью 15 км/ч. Возле каждого домика они останавливаются и отдыхают одно и то же целое число минут. За ними бежит Тотошка со скоростью 20 км/ч и около каждого домикаотдыхает в два раза дольше льва. Вышли и пришли в конечный пункт они одновременно. Сколько домиков у дороги?
2.По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями едут автомобили Шкода и Вольво. В 18-00 Вольво оказался в 2 раза дальше от перекрестка, чем Шкода. И в 19-00 Вольво был в 2 раза дальше от перекрестка, чем Шкода. В какое время Шкода могла проехать перекресток?
3.У капитана Флинта и Джона Сильвера есть 11 пустых сундуков и куча золотых монет. За один ход каждый может положить в какие - то из них по одной монете. Флинт и Сильвер ходят по очереди. Побеждает и забирает все золото тот, после чьего хода впервые в одном сундуке окажется 21 монета. Как надо играть Сильверу, чтобы выйграть?
4. Числа А и В удовлетворяю равенству (2А/А+В) +(В/А-В) =2.Найдите все возможные значения выражения 3А-В/А+5В.
Помогите умоляяю :D
Решу несколько задач. А вообще-то олимпиадные задачи нужно решать самостоятельно ;)
1. Пусть вдоль дороги n домиков (n>1). Если Элли со львом отдыхали около каждого из них по m минут, то чистого времени в пути они потратили 37:15·60 = 148 (минут) , а на отдых ещё (nm) минут.
Тотошка чистого времени в пути провёл 37:20·60 = 111 (минут) , и ещё отдыхал у каждого домика по (2m) минут.
Общее время в дороге у Элли со львом и Тотошки одинаково; составляем уравнение:
148 + nm = 111 + 2nm
Отсюда nm = 31. Поскольку 31 — простое число, и по условию n>1, получается единственный вариант:
n=37, m=1. Значит, вдоль дороги расположено ни много ни мало 37 домиков, и у каждого из них Элли со львом отдыхали по одной минуте, а Тотошка — по две.
ОТВЕТ: у дороги 37 домиков.
------------------------
2. Пусть координата одной из дорог (по которой едет Шкода) x, а дороги, по которой едет Вольво — y. (Начало координат — в центре перекрёстка, а сами оси направлены в обоих случаях по направлению движения автомобилей)
Пусть скорости Шкоды и Вольво равны v (км/ч) , и их координаты в начальный момент (18:00) равны A и B соответственно. Тогда уравнения движения Шкоды и Вольво соответственно имеют вид:
x(t) = Ш + vt
y(t) = В + vt
Расстояния Шкоды и Вольво от перекрёстка в любой момент равны |x(t)| и |y(t)| соответственно.
Подставляем значения t=0 (18:00) и t=1(19:00) из условий задачи:
{ |В| = 2|Ш|;
{ |В+v| = 2|Ш+v|.
Раскрывая знаки модуля, получим 4 возможных варианта:
{ В = ±2Ш,
{ В+v = ±2(Ш+v)
(знаки + и − в каждом из двух случаев можно выбирать произвольно) .
а) Если знаки в обоих уравнениях выбрать одинаковые (или оба +, или оба −), то система получится несовместной.
б) Если в первом уравнении +, во втором −: получим В = −3v/2, Ш = −3v/4.
Подставим в уравнение движения Шкоды и решив уравнение x(t)=0, получим t=¾ ⇒ Шкода проехала перекрёсток в 18:45.
в) Если в первом уравнении − и во втором +: В = v/2, Ш = −v/4.
Тогда из уравнения x(t)=0 получим t=¼ ⇒ Шкода проехала перекрёсток в 18:15
ОТВЕТ: Шкода могла проехать перекрёсток или в 18:15, bли в 18:45.
----------------------------
4. 2A/(A+B) + B/(A−B) = 2
ОДЗ: (A+B)≠0, (A−B)≠0 ⇒ B ≠ ±A.
Домножим обе части уравнения на (A+B)(A−B) = A²−B²:
2A(A−B) + B(A+B) = 2(A²−B²)
2A² − AB + B² = 2A² − 2B²
3B² − AB = 0
B(3B−A) = 0
Отсюда получаем два варианта:
а) B=0; (A≠0) ⇒ (3A−B)/(A+5B) = 3A/A = 3
б) A=3B (B≠0) ⇒ (3A−B)/(A+5B) = (9B−B)/(3B+5B) = 1.
ОТВЕТ: 1 или 3.