Баллистика. Какова будет скорость пули, выпущенной вертикально вверх при падении на землю. Масса пули 11,8г
Это не слишком баллистика, мы же не траекторию считаем.. . А вообще надо, зная сопротивление воздуха, рассчитать на какую высоту она взлетит, а потом с помощью знания о все том же сопротивлении воздуха и простых школьных формул рассчитать скорость падения. Если пренебречь воздухом, то все вообще станет до неприличия простым.
Вначале составляем уравнение для процесса подъёма пули:
mg + kV = -m dV/dt ...(1)
где m - масса пули, g - ускорение свободного падения, k - коэффициент сопротивления, v - скорость, t - время. Более правильно было бы поставить скорость в квадрате, но тогда формула скорости получается настолько сложной, что интегрированию уже не поддаётся, а без интегрирования не получится и весь расчёт. Уравнение (1) решается путём переноса левой части в знаменатель правой, а дифференциал времени - в числитель левой. Не буду делать промежуточные выкладки, а сразу даю готовый результат
V = (V0 + mg/k) exp(-kt/m) - mg/k ...(2)
где V0 - начальная скорость в момент t = 0. Нам надо узнать время, когда скорость станет нулевой
t = - (m/k) ln[mg/(kV0 + mg)] ...(3)
Не смущайтесь наличием минуса в формуле, логарифм получится отрицательный и два минуса взаимно нейтрализуются. Интегрированием ур. (2) получаем высоту подъёма
H = (m/k) (V0 + mg/k) [1 - exp(-kt/m)] - mgt/k ...(4)
Находите время подъёма из ур. (3) и подставляя его в ур. (4), получаете высоту подъёма.
Теперь составляем уравнение движение для процесса падения пули
mg - kV = m dV/dt ...(5)
Оно решается как предыдущее. Его решением получаем скорость, а интегрированием скорости получим высоту
V = (mg/k) [1 - exp(-kt/m)] ...(6)
H = H0 + (mg/k) {t + (m/k)[exp(-kt/m) - 1]} ...(7)
где H0 - это та высота, с которой пуля стала падать. Она уже известна из формулы (4). Теперь надо узнать время, за которое пуля достигнет Земли. Для этого приравниваете нулю высоту в ур. (7) и путём подбора ищете такое время, когда уравнение обращается в нуль. Здесь придётся попотеть, аналитических формул для этого расчёта не имеется. И когда нашли время, подставляете его в ур. (6) и рассчитываете нужную скорость. А суммарное время складывается из времени подъёма и времени падения.
Проблема будет состоять в том, чтобы найти более-менее правильный коэффициент сопротивления. Искать его надо по справочникам. Лучше всего подойдёт "Справочник по гидравлическим сопротивлениям" под редакцией Идельчика. Вначале принимаете коэффициент от фонаря, ну например берёте его равным единице. И делаете расчёт, как я описал. Потом смотрите, какие получаются скорости, принимаете среднюю скорость и лезете в справочник, ища там каков должен быть коэффициент сопротивления при свободном обтекании круглого тела с такой средней скоростью (там много разделов для течений в каналах и трубах, но вам надо искать раздел, когда тело обтекается неограниченным потоком) . И с новым коэффициентом проделать расчёт заново. И так несколько раз, пока принимаемые вначале и получаемые в конце расчёта коэффициенты сопротивления не станут сравнимы между собой.
