Через сколько лет сумма вклада в 2000$ увеличится в два раза при 6 % годовых (при ежемесячной капитализации вклада)?

Все зависит от конкретной формулы начисления процентов и их капитализации. Не зная этой формулы, вычислить невозможно. Но, поскольку предусмотрена ежемесячная капитализация (только не вклада, а начисленных процентов) . то можно предположить два варианта.
1 Вариант (упрощенный) . Если за год сумма вклада возрастает на 6 %, то считаем, что каждый месяц она увеличивается на 6/12=0,5 %. Т. е. формула вклада фактически получается такая: 0,5 % в месяц, с ежемесячной капитализацией процентов. Тогда через "n" месяцев сумма вклада составить 2000*(1+0,0050)^n=2000*1,005^n. Решаем простенькое уравнение: 2000*1,0050^n=4000, откуда 1,005^n=2, n*log(1,005)=log(2), n=log(2)/log(1,005).
Напоминаю, что "n" - это количество месяцев, а не лет. Ну уж на 12 разделить сумеете.
Здесь я сознательно не указал основание логарифмов. Можно брать по любому основанию. Если логарифмировать по основанию 10, то n=lg(2)/lg(1,005)=138,9757216, т. е. n=139 месяцев. Если логарифмировать по основанию 2, то формула будет чуть попроще (основание я обозначу в квадратных скобках) : n=log[2](2)/log[2](1,005)=1/log[2](1,005)=138,9757216, т. е. те же 139 месяцев.
Но это упрощенный вариант, в котором ежемесячный процент находится просто делением годового процента на 12 месяцев. Некоторые банки по такой формуле и работают.
Но это не совсем правильно, так как при таком методе расчета, годовой процент (за 12 месяцев) получается ((1+0,005)^12-1)*100=6,167781186, т. е. 6,17 %, а не ровно 6 %. Для Вас это все равно, но для банка не все равно.
2 Вариант. При ежемесячном начислении какого-то числа процентов (p %), за год должно получиться ровно 6 %, Тогда ежемесячный процент вычисляется по формуле: (1+р/100)^12=1,06. Решаем это уравнение логарифмирование проведем по основанию 10, хотя можно брать любое основание:
(1+р/100)^12=1,06;
12*lg(1+р/100)=lg(1,06);
lg(1+р/100)=lg(1,06)/12;
1+р/100=10^(lg(1,06)/12);
р/100=10^(lg(1,06)/12)-1;
p=100*(10^(lg(1,06)/12)-1)
p=0,486755057.
Ежемесячный процент получается 0,486755057. Подставляем это число вместо 0,5 в полученную в первом варианте формулу и получаем: n=142,7479326, округленно 143 месяца.
Так что выбирайте ответ, какой соответствует Вашей формуле вклада.
Итак, количество месяцев (n), по прошествии которых Ваш вклад удвоится вычисляется по формуле:
n=log(2)/log(1+р/100), где р - ежемесячный процент. Он либо равен р=6/12=0,5 (по упрощенной формуле вклада) , либо p=100*(10^(lg(1,06)/12)-1)=0,486755057 по формуле сложных процентов.
Если Вы владеете Excel, то расчет можно сделать более наглядным.
Для этого в ячейке A1 пишете "Месяцы", в ячейке B1 пишете "Сумма на счете". Эти записи делать не обязательно, просто для наглядности.
Далее, в ячейку А2 пишете 0, в ячейку В2 пишете 2000. В какую-либо ячейку, например С1, пишете величину ежемесячных процентов (для упрощенной формулы пишете 0,5).
Далее, в ячейку А3 пишете формулу "=а2+1", (кавычки не нужны, я их поставил, чтобы было видно начало и конец формулы. В формулах нужно писать ЛАТИНСКИЕ символы) .
Далее в ячейку В3 пишете формулу "=В2*(1+$C$1/100)". Обратите внимание, что вместо С1 я написал $C$1. Это обязательно, чтобы при копировании формула в копиях была та, что нужно) .
Далее копируете ячейки А3 и В3 в ячейки А4 и В4, А5 и В5 и т. д. до тех пор, пока в очередной ячейке В (в данном случае в В139) не появится число равное или превышающее искомую сумму, т. е. 4000.
Проще всего это сделать так: Выделяете одновременно обе копируемые ячейки (А3 и В3). Сдвигаете курсор на нижнюю границу выделенной зоны. Курсор приобретает вид крестика из четырех стрелок. Сдвигает курсор в правый нижний угол. Он приобретает вид прямого черного крестика. Нажимаете левую кнопку мыши и не отпуская кнопки "протягиваете" мышку (и курсор) вниз на требуемое число строк, затем отпускаете кнопку.