Господа, дайте пожалуйста ссылку на доказательство теоремы Птолемея или само это доказательство, пожалуйста!

В третьей книге «Начал» Евклид доказывает, что «у четырехсторонников (вписанных) в кругах противоположные углы вместе равны двум прямым» . Эта теорема изучается в школе.

Обратная теорема, которая тоже изучается в школе, отсутствует в «Началах» . Она была доказана Клавдием Птолемеем. Он же доказал и другое известное предложение, так называемую «теорему Птолемея» : «Прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах» . Современная формулировка этой теоремы следующая: произведение диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Для доказательства проведем отрезок |ВР| так, чтобы

< АВР = < DBC

Из подобия треугольников АВР и DBC следует:

|АВ| · |CD| = |AP| · |BD| (1)

Из подобия же треугольников РВС и ADB имеем:

|BC| · |AD| =|PC| · |BD| (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим:

|АВ| · |CD| + |ВС| · |AD| = |АС| · |BD|

Основываясь на этой теореме, Птолемей находил по хордам двух дуг хорды их разности и суммы и по хорде какой-нибудь дуги хорду ее половины и таким образом составил свою таблицу хорд.

Пусть в круге данного радиуса R известны хорды |АВ| = с, |АС| = b и пусть требуется найти хорду |ВС| = а, соответствующую разности дуг, стягиваемых хордами |АС| и |АВ|.

Проведя диаметр |AD| и применяя теорему Птолемея к четырехугольнику ABCD, имеем:

b · |BD| =c · |CD| + a · 2R

Откуда

Отрезки |BD| и |CD| можно определить по теореме Пифагора, так как они являются катетами прямоугольных треугольников ABD и ACD, в которых известная гипотенуза |AD| = 2R и катеты bиc.

В своих расчетах Птолемей использовал хорды, длина которых была известна из геометрии. Этими хордами были стороны правильных многоугольников, вписанных в круг: треугольника (хорда дуги в 120°), квадрата (90°), шестиугольника (60°), пятиугольника (72°) и десятиугольника (36°). Взяв хорду, соответствующую 120°, и применив свою теорему, Птолемей вычислил хорды дуг 12°, 6°, 3°, 11/2, 3/4. Хорду дуги в 1° Птолемей вычислил c большой точностью, показав, что она меньше 4/3 хорды в 3°/4 и больше 2/3 хорды в 3°/2.

Техника тригонометрических вычислений достигла дальнейшего значительного развития в астрономических трудах индийских ученых V — XII вв. В отличие от Птолемея они вычисляли уже не хорды, а полухорды, линии синуса, основываясь на выражении длин сторон правильных вписанных многоугольников через длину радиуса круга.