Помогите с физикой. Как с помощью закона Био-Савара-Лапласа вычислить магнитную индукцию в центре кругового тока?

Магнитное поле постоянных токов различной формы исследовалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты их опытов были обобщены французским ученым П. Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 1) индукцию поля dB, равен

закон Био-Савара-Лапласа (1)

где dl - вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r - радиус-вектор, который проведен из элемента dl проводника в точку А поля, r - модуль радиуса-вектора r. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с направлением касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта совпадает с направлением тока в элементе.

Модуль вектора dB задается выражением

закон Био-Савара-Лапласа (2)

где α — угол между векторами dl и r.

Аналогично электрическому, для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

принцип суперпозиции магнитных полей (3)

Используя данные формулы для расчет характеристик магнитного поля (В и Н) в общем случае достаточно сложен. Однако если распределение тока имеет какую-либо симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции дает возможность просто рассчитать некоторые поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому бесконечному проводу (рис. 2).

магнитное поле прямого кругового тока

В произвольной точке А, удаленной на расстояние R от оси проводника, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, которое перпендикулярно плоскости чертежа («к вам») . Значит, сложение всех векторов dB можно заменить сложением их модулей. За постоянную интегрирования возьмем угол α (угол между векторами dl и r) и выразим через него все остальные величины. Из рис. 2 следует, что

для расчета магнитного поля прямого тока

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым) . Подставив эти формулы в (2), получим, что магнитная индукция, которая создавается одним элементом проводника, равна

магнитное поле прямого тока (4)

Поскольку угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то, согласно (3) и (4),

магнитное поле прямого тока

Значит, магнитная индукция поля прямого тока

магнитная индукция поля прямого тока (5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как видно из рисунка, каждый элемент кругового проводника с током создает в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка. Значит, сложение векторов dB также можно заменить сложением их модулей. Поскольку расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R и все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sinα=1), то, используя (2),

магнитное поле в центре кругового проводника с током

Тогда

магнитное поле в центре кругового проводника с током

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

магнитное поле в центре кругового проводника с током