Как работает формула Тейлора?

1. почти все "хорошие" (полезные на практике, вылезающие из физики и других приложений) можно приблизить многочленами, хотя бы в какой-то окрестности нужной точки. (В другой точке - тоже можно, но многочлен будет другой) .

2. производные. представьте, как мы последовательно приближаем:
1-й член (значение самой функции) - задает значение в самой этой точке как гориз. линию.
если функция у нас растет или убывает, мы добавляем наклон - это второй член, первая производная, получается приближение наклонной прямой, касательной к функции.
дальше: если функция не прямая, у нее есть какая-то выпуклость, мы добавляем ее третьим членом - 2-й производной, получаем уже многочлен, совпадающий по значению, наклону и выпуклости.
для следующего члена в русском нет слова, но смысл понятен - это скорость, с которой меняется выпуклость. если у нас, например, чем больше х, тем больше выпуклость - мы можем это приблизить следующим членом, третьей производной (скоростью изменения выпуклости) итд.

3. почему везде разность? Потому, что нам интересна функция в какой-то точке, и свойства ее лучше описываются производными именно в окрестности этой точки - а не взятыми где-то далеко. Если у нас в реальной задаче есть какая-то сложная зависимость - вряд ли будет хорошим решением опираться на ее значения при совсем далеких условиях. Если мы описываем, например, температуру воздуха на улице сегодня, нам не сильно помогут прошлогодние значения, но вот знание температуры час назад, знание как она росла, с какой скоростью и "выпуклостью" - помогут.

4. не все функции приближаются рядом Тейлора. Те, что приближаются, называются аналитическими. Но есть и неаналитические, например, e^(-1/x^2) / x, доопределенная в нуле как ноль. Нетрудно убедиться, что она непрерывна, дифференцируема в любой точке (включая ноль) , что и она сама и все ее производные в нуле равны нулю, а значит и все члены ряда Тэйлора будут нулевыми. Формула-то Тейлора будет верна - но бесполезна, в ней останется один остаточный член.