Смысл третьей производной?

Поддерживаю ответ Григория Милонова, а ещё производные высших порядков нужны для разложения функций в ряды - Тейлора, Маклорена. В некоторых методах приближенного решения систем нелинейных уравнений без них тоже никак

Полностью согласен со всем выше сказанным, но хочу заметить что кроме геометрического смысла производной существует ещё и физический смысл а понять необходимость производных высщего порядка проще всего поняв физическую суть...
К примеру для уравнения движения производная пути по времени - это скорость
вторая производная - ускорение, но не всякое движение может быть равноускоренным
характеристикой изменения ускорения будет третья производная,
но и скорость изменения ускорения может быть не равномерной :)) и т.д.
Кроме того оперируя с производными нельзя мыслить "плоско", очень часто их используют для пространственных характеристик моделей.
Мне очень нравятся задачи с применением производной где требуется оптимизировать процесс или маршрут, или снизить себестоимость...
Простенькая задачка на эту тему для размышления...
Определить оптимальные размеры цилиндрической консервной банки с крышкой для обьёма V=1литр выполненной из жести толщиной S=0.2 мм из условия минимального веса металла :)

Радиус кривизны смещения точки перегиба...

Вторая производная - кривизна графика.
Третья производная - скорость изменения кривизны.

Давайте от математики к физике. Первая производная - (есть перемещение) -суть первая производная от перемещения - скорость, вторая производная от перемещения (она же первая производная от скорости) - ускорение, третья производная от перемещения, она же - вторая производная от скорости, она же первая производная от ускорения - суть мгновенный удар - в просторечие - ПИНОК (но только очень быстрый - МГНОВЕННЫЙ), Надеюсь понятно :)

третья производная скорости в классической механике используется для нахождения координат объекта в 3х мерном пространстве. Называется "мгновенный удар" или "резкость". В реальности используется, например, для расчета координат стыковки космических модулей ( та же МКС).

Третья производная позволяет избавиться от кубического члена при решении уравнения от многочлена 4 степени, если провести замену переменной x=y-b/4a, тк в нуле она равна -b/4a. Алгоритм работает на любой степени многочлена, а для неполных уравнений решения значительно короче.

Удивительно, но в природе есть математические зависимости геометрических, физических и прочих процессов, которые доказаны практикой и условиями их использования.
В частности, формула изменения перемещения в единицу времени дает нам физическую величину - скорость перемещения. Формула изменения скорости перемещения дает нам физическую величину - ускорение при перемещении. Они описаны И.Ньютоном по аналогии применения формулы скорости перемещения или скорости изменения к другим подобным процессам и названы производными или дифференциальными уравнениями. Которые, при применении к первичному процессу, названы первой производной, при применении второй раз к этому же процессу – второй производной. Аналогично названы дифференциальные уравнения.
Однако для практического применения более высших уравнений производных, должны быть доказаны практики разрешения их применения.