Вопрос про четыре точки.(внутри)
Всем известно, что через три точки не
лежащих на одной прямой, можно провести
окружность и при том только одну.
Однако дано четыре точки с координатами:
(x1, y1) (x2,y2) (x3,y3) (x4,y4) .
Вопрос: как расчитать лежат ли все
четыре точки на одной окружности,
или нет, не находя уравнение окружности
и не решая ни каких систем?
Все точки лежат в одной плоскости.
Точки конечно же не лежат на одной прямой.
Можно вычеслять расстояния между точками.
эти 4 точки образуют 4-угольник, а окружность можно описать около такого 4-уг-ка, если выполняется теорема Птоломея ac+bd=d1*d2. т. е. сумма произведений длин противоположных сторон 4-уг-ка равна произведению длин его диагоналей.
Значит найти длины этих сторон (как расстояние между точками) , подставить и проверить
На самом деле все очень просто: вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противополжных углов равна 180 градусов. Достаточно проверить лишь одну пару углов, например, углы 1 и 3. По теореме косинусов вычисляется каждый из углов и смотрится, равна ли их сумма 180. Если да, то лежат, если нет, то не лежат. То есть условие таково: arccos(((x2-x1)*(x4-x1)+(y2-y1)*(y4-y1))/sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1))/sqrt((x4-x1)*(x4-x1)+(y4-y1)*(y4-y1)))+arccos(((x2-x3)*(x4-x3)+(y2-y3)*(y4-y3))/sqrt((x2-x3)*(x2-x3)+(y2-y3)*(y2-y3))/sqrt((x4-x3)*(x4-x3)+(y4-y3)*(y4-y3))) должно равняться 180 градусам. Первый arccos - это угол 1, второй - это угол 3.
Судя по координатам - это прямая. И эти точки теоретически могут быть на одной окружности, если радиус её стремиться к бесконечности.
Может быть так.
провести окр-ть через три точки если четвертая не лежит на этой окружности то через эти четыре точки нельзя построить окр-ть.
если провести радиус-векторы к каждой из этих точек и они получатся равными, то все эти точки лежат на одной окружности (при условии, что центh окружности и начало кооринат совпадают)