Существует такое выражение: "частная квартира" и это означает, что квартира находится в собственности? А какие ещё,

Сейчас это выражение ничего не означает. До революции оно могло означать две вещи. В общем случае "жить на частной квартире" означало снимать ее целиком -- тогда было много небогатых людей, которые снимали комнаты, а не то и углы (то есть в комнате жило по несколько человек). Позволить себе такой номер могли относительно немногие. Если разговор шел об офицере, это означало, что он не живет в офицерских казармах. Женатые офицеры автоматически имели право жить на частной квартире, холостые должны были получить на это разрешение командования.