Объясните как решать задачу по комбинаторике и почему здесь не подходить формула перестановок n!?

Question

Объясните как решать задачу по комбинаторике и почему здесь не подходить формула перестановок n!?

ARCorp Ученик (230), закрыт 8 лет назад

Сколько существует различных вариантов рассадки n человек за круглым столом, причём один вариант отличается от другого тем, что хотя бы у одного человека при разных вариантах разные соседи слева.

Answer 1

перестановки проще понять на примере
пусть каждый человек любит какой-то фрукт, чтоб их проще было различать
и человек всего три
итак, варианты:

яблоко / груша / банан
яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко

всего 3! = 6 вариантов, т. е. n! работает

теперь сажаем их в кружок и смотрим, какие в этих вариантах соседи слева и видим, что в некоторых рассадках они совпадают:

"яблоко / груша / банан" - это тоже самое что "груша / банан / яблоко" и "банан / яблоко / груша"
значит надо совпадающие варианты исключить

сколько этих совпадающих вариантов?
сложно сказать, если яблоко скачет с места на место.
а что если мы запретим яблоку перемещаться - а всем остальным можно?
тогда все перестановки будут уникальными и соседи слева у всех будут разными.
вот и разделим наш n! на количество мест на которые вначале мы помещали яблоко, т. е. на n

получается 3!/3= 2! = 2 варианта
яблоко / груша / банан
яблоко / банан / груша

или в общем виде n!/n= (n-1)!

Answer 2

здесь круговые* перестановки не считаются.
если один занял место,
то имеем всего (n-1)! различных перестановок только.
ответ: (n-1)!
_______
*круговые - это когда каждый занимает соседнее место слева от себя например

Answer 3

n! не подходит, потому что при круговой рассадке такие линейные варианты
12345
23451
...,получаемые циклическими перестановками, дают одну и ту же рассадку.

потому надо взять n! и поделить на количество таких циклических перестановок n чисел.

получим n!/n= (n-1)!
________

пысы
выше правильно написано:
такие циклические перестановки, когда последний элемент приписывается в начало (или наоборот) называются круговыми.