К какому виду музыки относится игра на органе?

К органной музыке.
"Классика" тут совершенно ни при чем. "Классикой" люди, далекие от музыки, называют вообще все, что не рок и не эстрада. А на самом деле "классика" - это музыка композиторов-классицистов, это сравнительно небольшой период в истории искусства.
Орган был королем инструментов задолго ДО начала классического периода - в эпохах Ренессанса и Барокко. При классицизме он уступил эту привилегию другим инструментам и оркестру в целом, и продолжал использоваться только НАРЯДУ с ними.
После классицизма были еще эпохи Романтизма, Импрессионизма и т. д Все это было ДО ТОГО, как появился жанр "эстрады" или "рока" , но уже ПОСЛЕ того, как умерли все композиторы-классицисты.
А орган - по-прежнему, до нынешнего дня используется НАРЯДУ с другими инструментами. Так что он не более "классичен", чем скрипка или фортепиано.