a, b - элементы группы. Известно, что a^-1*b^2*a = b^3 , b^-1*a^2*b = a^3 Доказать, что a = b = e.
Мое сложное решение: bba = abbb, (1) aab = baaa (2) ==> (умножаем 1 справа на 2) bbaaab = abbbbaaa, обе части упрощаем по 2) baabb = abbbaab =(по 1)= ababbbab =(по 1)= abababbbb (сокращаем справа на bb) baa = abababb (3), аналогично abb = bababaa (4) => baa = ababbababaa => (сокращаем справа на baa) ababbaba = e (5), откуда baababba = e =(раскрываем по 2 "aab", по 1 "bba")= bbaaaaabbb, откуда e = b^5*a^5 = a^1*b^5*a^4 (6) ----------------------- Умножим справа 1) на bbaaaa bbabbaaaa = a*b^5*a^4 =(по 6)= e = b^5*a^5 Сократим слева на bb и справа на a^4: abb=b^3*a, а по 4) abb = bababaa, откуда после сокращения слева на b и справа на a b^2 = ababa, аналогично a^2 = babab (7) Подставляя из 7) выражения для a^2 и b^2 в 1), имеем ababaa = abababb, откуда a = bb, аналогично b = aa (8), откуда из 2) a^4 = a^5 => a = e. Аналогично, b = e.
Дополнен 6 лет назад
Оффтопик: найден исходник задачи: Лекция 1, Упражнение 4 на стр. 13, наличие специальных знаний не предполагается. Там не предлагается ни простого решения, ни сложного, поэтому всё в ваших руках! http://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/staff:bunina
b^9 = (aa)^-1 * b^4 * (aa) = b*a^-3*b^-1* b^4 *b*a^3*b^-1 = b*a^-3*b^4*a^3*b^-1 => b^9 = a^-3*b^4*a^3 = a^-2*b^4*a^2 по 1, откуда a^-1*b^4*a = b^4, откуда a и b^4 коммутируют, откуда b^9 = b^4, откуда b^4 =b^-1, откуда a и b^-1 коммутируют, а дальше понятно.
Формулы здесь писать просто, например так: В word открываешь "вставить", далее пишешь формулы, затем фоткаешь страницу с помошью кнопки PrtSc, открываешь Paint, скидываешь рисунок, запоминаешь его на "рабочем столе" Затем грузишь картинку сюда.
a^-1*b^2*a = b^3 ,
b^-1*a^2*b = a^3
Доказать, что a = b = e.
Мое сложное решение:
bba = abbb, (1)
aab = baaa (2)
==>
(умножаем 1 справа на 2)
bbaaab = abbbbaaa, обе части упрощаем по 2)
baabb = abbbaab =(по 1)= ababbbab =(по 1)= abababbbb
(сокращаем справа на bb)
baa = abababb (3), аналогично
abb = bababaa (4) =>
baa = ababbababaa =>
(сокращаем справа на baa)
ababbaba = e (5), откуда
baababba = e =(раскрываем по 2 "aab", по 1 "bba")= bbaaaaabbb,
откуда e = b^5*a^5 = a^1*b^5*a^4 (6)
-----------------------
Умножим справа 1) на bbaaaa
bbabbaaaa = a*b^5*a^4 =(по 6)= e = b^5*a^5
Сократим слева на bb и справа на a^4:
abb=b^3*a, а по 4) abb = bababaa, откуда после сокращения слева на b и справа на a
b^2 = ababa, аналогично a^2 = babab (7)
Подставляя из 7) выражения для a^2 и b^2 в 1), имеем
ababaa = abababb, откуда a = bb, аналогично b = aa (8), откуда из 2) a^4 = a^5 => a = e.
Аналогично, b = e.